Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
обратимый характер распадной неустойчивости.
§ 38. Генерация второй гармоники
Простейший из процессов нелинейного взаимодействия трех волн в средах с
квадратичной нелинейностью -.генерация второй гармоники. В данном
параграфе мы исследуем влияние расстроек фазового синхронизма, вызванных
неоднородностью среды, на этот процесс без использования линеаризующих
уравнения приближений.
Как и в предыдущем параграфе, перейдем в уравнениях (35.2) к
действительным амплитудам и фазам волн Aj (х) = v}/zCj (х) = р,- (ж) ехр
(icpj (я)), (/ = 1, 2). Тогда для действительных амплитуд pj и
относитель-
Я
ной разности фаз волн 0 = ф2- 2ц>г + j" A (xj) dx1 в ста-
о
ционарном случае получим из (35.2) следующую систему (а>2 = 2и>1, Л (х) =
к2 - 2kt):
dpJd'E, = -2pip2 sin 0,
dpjd\ = pi sin 0, (38.1)
dQldl = x (?) + (p2/p2 - 4p2) cos0,
где | = Vl2x/vl{vzY/2, x(?) = yi(f2)1/2A(|)/Fi2. (38.2)
Из первых двух уравнений получается соотношение Мэнли - Роу, которое для
случая двух волн эквивалентно условию сохранения плотности потока
мощности W в среде без потерь:
W = 0)i (pj + 2pl) = <0il7i ( | Ci | )2 + (| с21 )2 =
= coiA^i + co2N2. (38.3)
Введем следующие безразмерные переменные:
¦ i = 2to1p\/w, /i = a"lP;/w,
5 = l(2W/ о,)1'2 = xVi2(2W)1/2/vMiV2)l/2 = x/lsii, (.38.4)
& = Vlt(2W)1/t/v1((r)iVt)1,i
Здесь lB1L - характерная длина нелинейного взаимодействия; /i(?), /(^) -
нормированные интенсивности первой и второй гармоник, связанные законом
сохранения
Л + / = 1. (38.5)
Величина I представляет КПД генерации второй гармоники по плотности
мощности. Для однородных по сечению пучков накачки I является
одновременно и КПД генерации второй гармоники по полной мощности.
Уравнения (38.1) в безразмерных переменных с учетом соотношения (38.5)
приводятся к виду
dl/dt, = ±2/1/2(1 - I) sin 0,
йЩ = уД) ± [.(1 - 1)/Г/2 - 2/1/21 cos 0, х(?) = w1(va)1/2A(?) •
ЫУ'г/УаШ)т =
- =x-(al/2W)l/2.
Здесь выбор знака "плюс" или "минус" определяется знаком sin 0 при ? = 0,
х(?) = Д(?)/нл- безразмерная расстройка фазового синхронизма. Уравнениям
(38.6),
(38.7) тождественно удовлетворяет интегральное соотношение,
аналогичное полученному в предыдущем параграфе для трех волн:
i
/1/2 (1 - I) cos 0 + (1/2) j' d^x (?i) dl/db = Г. (38.8)
о
Выразим cos 0 через /(?), используя (38.8), и подставим полученное
выражение в уравнение (38.7). Проинтегрируем после этого формально левую
и правую части (38.7). Полученное выражение для фазы 0(?) подставим в
(38.6) и приведем окончательно систему (38.6), (38.7) к одному
интегродифференциаль-ному уравнению для /(?):
(38.6)
(38.7)
121
dl/dt, = 2/1/2 (1 - I) sin |я/2 + l к (?x) dt,x -f
o
о о
(38.9)
При выводе уравнения (38.9) начальная разность фаз волн выбрана для
простоты равной 0(0)= я/2 (Г = 0). Введем следующее обозначение:
Величина а{/(?)} имеет смысл набега разности фаз волн из-за
неодно'родности среды на длине ?. Уравнение (38.10) можно переписать'
также в интегральном виде, удобном для качественного исследования
Как видно из уравнения (38.11), неоднородность среды уменьшает
эффективную длину нелинейной среды и, если набег разности фаз волн
а{/(?)}^1 велик, то косинус в подынтегральном выражении осциллирует, что
существенно ослабляет нелинейное взаимодействие волн.
Первый максимум генерации второй гармоники в неоднородной среде
достигается на длине ?т, определяемой из условия:
dlldl |c=cm = 0 или а {I (?")} = я/2. (38.12)
КПД генерации второй гармоники в первом максимуме можно оценить из
выражения (38.11)
о V / о
^1
- 1/2/ (Ci)] J d?2* (U dl/dS2. (38.10)
0
(/(0) =0):
/ (С) = th2 J cos [a {/ (&)}] . (38.11)
0
"U 1
/m(?m)" th2 j d?! cos a (Si) . (38.13)
122
Рассмотрим сначала случай больших расстроек фазового синхронизма
достаточно медленно из-
меняющихся в пространстве, так что
При этом эффективность преобразования энергии во вторую гармонику
невелика, ее интенсивность мала (/<1), и потому нетрудно вычислить набег
разности фаз а(?) в (38.10), (38.11) с точностью до членов по-'
Оценив таким образом величину а(?) в явном виде, нетрудно теперь
проинтегрировать уравнение (38.11). Приближенное решение в этом случае
для граничного условия /ДО) = 1, /(0) = 0 имеет вид
Интеграл под знаком, гиперболического тангенса при выполнении условий
(38.17) можно оценить методом стационарной фазы [21], считая, что в
рассматриваемом интервале отсутствуют точки, стационарной фазы
Поскольку аргумент гиперболического тангенса мал, разлагая тангенс,
получаем решение в форме
Подставляя решение (38.18), (38.19) в выражение
(38.10) для а{/(?)}, можно убедиться в том, что отброшенные члены малы
по сравнению с удержанными: эти члены будут приводить к более медленному
по сравнению с основным изменению фазы, которое мо-
Ы'|/х2" 1.
(38.14)
рядка Ы1 '"1 и \d(x~i)/dt,\< 1
(38.15)
о
Ы|-' " 1, \d(K-l)/dt\" 1. (38.17)
(х(?) ?= 0):
/ (?) ~ 4 sin2
K(?i)d?i/2 *41). (38.19)
123
жет быть вычислено по теории возмущений, однако существенно не изменит
