Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Засланский Г.М. -> "Взаимодействие волн в неоднородных средах" -> 29

Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.

Засланский Г.М., Мейтлис В.П., Филоненко Н.Н. Взаимодействие волн в неоднородных средах — М.: Мир, 1982. — 177 c.
Скачать (прямая ссылка): vzaimodeystvievolnvneodnorodnih1982.pdf
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 55 >> Следующая

i3/24], x>x0. (30.13)
Закон затухания exp (- cf) характерен для несобственных мод в
слабодиссипативных средах. Так, в [111 показано, что по этому закону
затухают волны Ван-Кампена под влиянием слабых кулоновских соударений.
Действительно, волны Ван-Кампена возникают при движении пучков заряженных
частиц, плотность которых модулирована в направлении движения. Например,
если скорости всех частиц пучка одинаковы (распределение по скоростям
имеет вид f0(v) = 8(v -
- v0)), то в~лабораторной системе координат будем видеть
периодическую волну с частотой со = 2nvJ%, где
98
% - пространственный период модуляции. Под действием кулоновских
соударений распределение будет расплываться по закону f0{v) ~ ехр [ - (у
- и0)2/с$. Нетрудно видеть, что интеграл j ехр iikvt)fQ{v)dv,
определяющий временную зависимость возмущений, спадает во времени по
закону ехр(-cf).
В рассматриваемой задаче затухание происходит аналогичным образом.
Действительно, в силу того, что скорость потока является функцией
координаты х, на различных линиях тока возмущения движутся с различной
скоростью. Эффекты вязкости приводят к диффузии возмущений в поперечном
направлении. В результате на одной и Toxi же линии тока оказываются
возмущения, двигающиеся с различными скоростями.
§ 31. Конечное усиление начальных возмущений
В настоящем параграфе мы рассмотрим плазменные колебания, описываемые
уравнениями, очень близкими к уравнению Орра - Зоммерфельда. Уравнения
альфвеновских и ленгмюровских колебаний в неоднородной и неравновесной
плазме совершенно идентичны по форме [20]:
adi<p/dxi -f- d (edq>/dx)/dx - k2ecp = 0,
8 = Щ [со2 (1 + IT]) - COo(x)].
Здесь coo - та или иная частота в зависимости от типа колебаний; параметр
т] обусловлен наличием в плазме высокоэнергетичных частиц (пучка), причем
предполагается, что их доля невелика и соответственно т] < 1. Для
определенности в дальнейшем будем считать, что речь идет об альфвеновских
колебаниях. Коэффициент при старшей производной, играющий роль
"вязкости", является в данном случае комплексной величиной. Его
действительная часть обусловлена учетом конечного ларморовского радиуса
ионов р{, а мнимая - диссипацией за счет электрон-ионных столкновений
(см. § 4).
Рассмотрим случай альфвеновских колебаний плазмы с линейным профилем
плотности по(х)=Пв(0)-\-хпо, помещенной в однородное магнитное поле. При
линей-
4*
99
ном профиле плотности исходное уравнение принимает вид
Л_1й4ф/dxk + d[(x - xs)d(p/dx]/dx - кг[х - xs)q> - О,
(31.1)
где xs = 0)q (0) п0 (0)/((c)2гео (0)), Л = а-Чъ/dx |ж=Хб, а =
= -^-co2pirc0(l - id), 6 = -^--^-е1/2 (см. § 4). Прежде
чем приступить к построению решения уравнения
(31.1), заметим, что наибольший практический интерес, представляет не
само решение, а лишь граница перехода между решениями, растущими и
затухающими во времени. Ответ на этот вопрос можно получить довольно
просто, используя так называемое локальное квази-классическое
приближение. Оно состоит в следующем. Малость параметра а используется
как основание для отбрасывания члена со старшей производной. Коэффициент
е предполагается достаточно плавным, так что его можно вынести за знак
дифференцирования. Затем частота колебаний и инкремент определяются из
условия е(со, х) - 0. При этом каждой точке х ставится в соответствие
колебание со своей частотой
а,(х) = G)0(z)(l - ix\/2). (31.2)
Пространственная структура таких колебаний в локальном приближении не
анализируется, поскольку укороченное уравнение является сингулярным (оно
имеет особенность как раз в той точке х - xs, где е(со, х) = 0). В
окрестности этой точки характерный пространственный масштаб решения резко
сокращается, и поэтому становятся существенными эффекты, обусловленные
конечностью ларморовского радиуса ионов, не учитываемые в локальном
приближении. Для того чтобы включить их в рассмотрение, необходимо
перейти к дифференциальному уравнению четвертого порядка. Конечно, такой
упрощенный подход, строго говоря, неприменим к системе с распределенными
параметрами. Однако ниже будет показано, что локальный ква-зиклассический
подход, несмотря на всю его нестро-гость, дает правильную оценку величины
инкремента в данной задаче.
Вернемся теперь к уравнению (31.1). Как видно, между его решением и
решением уравнения Орра - Зоммерфельда есть много общего. Принципиальное
от-
100
лнчие состоит в появлении мнимой добавки в коэффициенте при второй
прсщзводной и действительной добавки в коэффициенте при старшей
производной. Эти добавки обусловливают два новых эффекта: на начальном
этапе эволюции амплитуда колебаний оказывается нарастающей, а на конечном
этапе эволюции колебания перестают быть гармоническими - их частота
нарастает со временем.
В окрестности нуля функции е(ю, х) частные решения уравнения (31.1) можно
получить, как и в предыдущем параграфе, используя малость параметра а.
Тогда, считая а = 0, получим плавные решения
ф4 ~ K0(kix - xs)),
ф2 ~ K0{k(xs - х)) - K0(k(x - xs)) + inl0ik(x - xs)),
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 55 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed