Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
образом:
А, = я1/2Х-3/г?-5/4 ехр (гя/4 + 2&?3/2/3),
-2я/3 < arg(?A,)2/3 < 4я/3,
Аз = я1/гХ-3/2?-5/4 ехр (-гя/4 - 2Л?3/73),
О < arg (?кг/3) < 2я,
(27.6)
Uz = (2^),'ц[я/Г(1 + гц,)] ехр (it, - г/ЗХ2 - лц),
О < arg (?Х2/3) < 4я/3,
U, = (2?)'"[я/1Х1 + гц,)] ехр (-it, + г/ЗА,2 - яц,),
- 4я/3 < arg (?А,2/3) < 0.
Мы опять сталкиваемся с неаналитичностью решений Uu U2, которую можно
устранить, если использовать ¦формулы связи (27.4). При этом плавное
решение в области комплексного переменного larg (?Х2/3)| < 2я/3
становится мелкомасштабным:
Uit 2 -*¦ Аг< 1 ехр [(-2лц - 1) - 1]. (27.7)
87
Рассмотрим теперь прохождение длинноволновой моды справа (? > 0) налево
(? < 0) через зону взаимодействия (? ~ 0). Пусть К, |л > 0. При этом
граничные условия удовлетворяются решением Е/2, так что из
(27.6), (27.7) имеем
(211 |)г(1 [л/Г (1 + ifi)] • ехр (i?- ilЗА2-
ф ~~ ^я/2) - Ai I1 ~ ехР 2я^> ? > °> (97 8)
(21 S1)*ц {"/Г (1 + Щ)] • ехр (i? - i/ЗА,2 -
- Зяц/2), ?<0.
Для коэффициента прохождения D (квадрат отношения модулей амплитуд
прошедшей и падающей) получим D = ехр (- 2я|л). Коэффициент трансформации
длинноволновой моды в коротковолновую Q может быть вычислен на основе
интеграла (27.2) с учетом того, что р и % действительны,
Q = I - D = I - ехр (- 2я|л). (27.9)
Аналогичным образом можно получить коэффициент прохождения при падении
длинноволновой моды слева направо.
Если на область взаимодействия справа падает коротковолновая мода, то,
выбирая решение в вид" Фг = ЕЛ - Аг, можно показать, что возникает
длинноволновая мода, просачивающаяся влево со стороны отрицательных
значений ?. При этом коэффициент трансформации
Q- = ехр (- 2я|л)[1 - ехр (- 2я|л)]. (27.10)
Формула (27.10) имеет сходство с формулой Ландау - Зинера (21.8). Это
сходство не случайно. Аналогия между взаимодействием волн
неадиабатическими переходами в квантовой механике отмечалась в начале
настоящей главы. В данном случае, если следовать этой аналогии, имеет
место пересечение термов, у одного из которых наклон равен нулю (ср.
(24.1) с (17.1)). Поскольку при выводе формулы (27.10) мы не накладывали
никаких ограничений на параметры исходной задачи, можно заключить, что
формула Ландау - Зинера справедлива во всем диапазоне параметров, если
один из пересекающихся термов имеет наклон, равный нулю [8].
88
Глава V
ЭВОЛЮЦИОННАЯ ЗАДАЧА
§ 28. Введение
Еще Релей в 1883 г. показал, что течения невязкой несжимаемой жидкости
устойчивы, если профиль скорости течения не имеет точек перегиба (теорема
Ре-лея). Позднее было найдено, что в этом случае отсутствуют и затухающие
и нейтральные колебания (см., например, [1]). А. В. Тимофеев, давший
физическую интерпретацию этой теоремы, показал [2], что незатухающие
собственные колебания отсутствуют из-за того, что они поглощаются в
резонансных точках, т. е. там, где фазовая скорость волны совпадает со
скоростью течения.
Реально волна может поглотиться только за счет вязкости. Поэтому в
окрестности резонансной точки неприменимо приближение - идеальной
жидкости. В гл. IV было показано, что правило обхода для несжимаемой
жидкости совпадает с правилом обхода особенностей, предложенным Ландау
[3] в задаче о колебаниях покоящейся однородной плазмы. В обоих случаях
это правило приводит1 к выводу о поглощении волны резонансными частицами
[4].
В тех случаях, когда отсутствуют собственные колебания, возникает вопрос
об эволюции начальных возмущений. В 1960 г. Кейз и Дикий [5, 6] показали
(независимо), как эволюционирует начальное возмущение в течении идеальной
жидкости. Они доказали, что произвольное начальное достаточно гладкое
возмущение затухает во времени по степенному закону.
Решая задачу с начальными условиями, обычно используют преобразование
Лапласа. При этом предполагают, что начальные возмущения возникают
мгновенно при t = 0, т. е. зависимость начального возмущения от времени
имеет ступенчатый характер. Это обстоятельство оказывается вбсьма
существенным при определении временной асимптотики [7].
В последнее время появились работы, в которых эволюционная задача
решалась с учетом эффектов,
89
проявляющихся только в резонансной зоне [4, 8]. Если речь идет о течении
несжимаемой жидкости, то это эффекты, обусловленные вязкостью. "Вязкие"
эффекты оказываются существенными на последнем этапе эволюции. В конечном
счете именно они обеспечивают асимптотическую устойчивость начальных
возмущений.
При анализе эволюционной задачи удобно использовать преобразование
Лапласа или Фурье По времени, если, конечно, коэффициенты уравнений не
являются функциями времени. В результате получается обыкновенное
дифференциальное уравнение с правой частью, дополненное граничными
условиями. Решение такого уравнения можно получить методом функции Грина,
Однако применение этого метода нуждается в дополнительном исследовании.
Дело в том, что вид функции Грина принципиально зависит от того,
существует или нет нетривиальное решение однородного уравнения. Если его
