Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
нет, то неоднородная задача всегда имеет определенное единственное
решение. Если же однородная задача имеет нетривиальное решение, то это не
так. Во втором случае вводится понятие обобщенной функции Грина [9]. Ее
построение не приводит к однозначному решению, и даже в простейшем случае
довольно громоздкое. В физических приложениях обычно ограничиваются
построением классической (необобщенной) функции Грина. При этом всякий
раз приходится решать вопрос о существовании собственного решения
однородной задачи.
В настоящей главе мы рассмотрим эволюцию начальных возмущений в задачах,
которые сводятся к уравнепию четвертого порядка. Речь пойдет об уравнении
Орра - Зоммерфельда и уравнении для альфве-новских колебаний в
неравновесной и неоднородной плазме, для которых доказана теорема Релея.
§ 29. Теорема Релея
Релей доказал отсутствие собственных колебаний в невязком слое
плоскопараллельного течения несжимаемой жидкости на основе интегральных
соотношений. Рассмотрим в качестве исходного уравнение
<Pi - A2cpi - Wo/vo (x) - "/*)] <Pi = (29.1)
90
получающееся из уравнения Орра - Зоммерфельда (см. § 3), если в нем
опустить члены, содержащие вязкость. На поверхностях, ограничивающих
течение (х = = xli2), нормальная компонента скорости обращается в нуль
ф±(д:1,2) = 0. Таким образом, мы приходим к краевой задаче для уравнения
(29.1). Если при заданном пр.офиле v0ix) (напомним, что любой профиль
v0{x) удовлетворяет стационарной невязкой задаче § 3) найдутся
собственные частоты с Im со > 0, то соответствующее течение окажётся
неустойчивым, т. е. амплитуды собственных колебаний будут нарастать во
времени.
¦ Следуя Релею, предположим, что такие колебания существуют. Умножйм
(29.1) на ф* и проинтегрируем по частям:
Если профиль течения не имеет точек перегиба, т. е.
то соотношение (29.2) не может быть удовлетворено, так как мнимая часть
подынтегрального выражения не меняет знака в интервале интегрирования
(xj, х2). Следовйвгельно, в течениях с профилем скорости без -точек
перегиба нарастающие собственные колебания не могут существовать и такие
течения устойчивы. Это утверждение и составляет содержание теоремы Релея.
Заметим, что в ходе доказательства теоремы мы не интересовались знаком Im
со. Важно было только, что 1т со Ф 0. Поэтому утверждение теоремы можно
сразу обобщить, заключив, что отсутствуют также и затухающие колебания
[1]. Более того, если нейтральные колебания (Im со = 0) рассматривать как
предельный случай колебаний с Im в^О, то можно показать, что и такие
колебания в изучаемых течениях невозможны [1].
Остановимся на другом, более общем доказательстве теоремы [10].
Рассмотрим уравнение
J1 | Фх г2-/с21 Фх I xi
| (r)/k-v0 (х)|2
(29.2)
ф" А2ф + иЫср = 0,
(29.3)
91
где U(x) - А(х)/(а - -kv"(x))n, п>0. Предположим, что скорость движения
сплошной среды v0(x) меняется в пространстве так, что вдали от
резонансной точки при I х - xs I ~ а выполняется условие к2" 1171. Тогда
всюду вне малой окрестности резонансной точки уравнение
(29.3) сводится к урав-
<р" - й:2ф = 0. (29.4)
Из (29.4) следует, что решение, спадающее в области положительных
значений разности х - xs, имеет асимптотику ехр [- к(х - ж8)]. Если
существуют собственные функции, то при переходе к отрицательным значениям
величины х - xs асимптотика должна измениться и принять вид ехр к{х -
х8). Известно, что асимптотика решений может изменяться лишь на линиях
мнимой фазы (линии Стокса). На рис. 15 линия мнимой фазы нанесена
штриховой линией, область, в которой неприменимо упрощенное уравнение
(29.4), заштрихована. Полагая, что > 0, в соответствии с правилом обхода
Ландау проведем разрез (так, как это показано на рис. 15 (волнистая
линия)). Возьмем решение, имеющее на штриховой линии справа от S вид
спадающей экспоненты. Переходя по контуру С в область слева от
S, мы нигде не пересекали линий Стокса (штриховых линий),
следовательно, в этой области решение будет нарастающим. Таким образом,
мы показали, что уравнение (29.1) не обладает собственными функциями.
§ 30. Эволюционная задача для уравнения Орра - Зоммерфельда
Предположим, что уравнение Орра - Зоммерфельда не имеет решений,
удовлетворяющих граничным условиям, выставляемым на твердых поверхностях
(см.
с
Рис. 15. Плоскость комплексного переменного для уравнения (29.3).
нению свободного движения
92
§ 3). Тогда для исследования устойчивости течения несжимаемой жидкости в
слое необходимо перейти к задаче с начальными условиями, которую, как
обычно, будем решать методом преобразования Лапласа. Учет начальных
возмущений приводит к тому, что исходное уравнение становится
неоднородным
- ггА2фи + (а> - kv0 (х)) Дфи -f kvофш = с (х). (30.1)
Здесь А = d2/dx2 - к2, а с(х) определяется начальным возмущением.
Стандартная процедура приводит к следующему выражению для функции ф(а:,
t):
+°°+-iV
ф (х, t) = - (2л)-1 j" dcoexp(-icoi) j* dxc (x) Ga (x, x),
-oo-piv
(30.2)
где Ga(x, x) - функция Грина уравнения (30.2).
