Взаимодействие волн в неоднородных средах - Засланский Г.М.
Скачать (прямая ссылка):
Cft(argCft = 2л(1 - к/3). Для того чтобы найти значения Ак на этих
линиях, нужно воспользоваться соотношениями (26.7), которые определяют
связь быстро меняющихся решений с медленно меняющимися.
Рассмотрим функцию U3. Она выражается через функцию Бесселя [15]
Us = nizinHl(2zl,z). (26.14)
При |z| > 1 для этой функции имеем
nizl/2Hl{2zl/2) = я 1/2z1/4 exp (2iz1/2 - яг'/4),
-2n<argz<4n. (26.15)
Функция zl/2Hl{2zl/2), являющаяся решением укороченного (без члена с
четвертой производной) уравнения
(26.2), неаналитична, поскольку ее значения при argz = = ф и arg z = ф +
2я не совпадают. Эти трудности устраняются, если учесть, что
представление плавного решения через функцию Бесселя справедливо лишь в
секторе S - S3 при - 2я/3 < argz < 2я/3 (см. рис. 13, сектор S - вся
комплексная плоскость, a S3 определяется неравенством - 2я/3 5s argz >
2я/3).
Для того чтобы получить выражение U3 в секторе
S з, следует снова воспользоваться соотношениями
84
(26.7). Аналогичными рассуждениями устанавливается, что в секторе S - S2
(0 < argz < 4л/3) U2 - = nizl/2Hl(2zin) и в секторе S - ЕЛ *=
nizi/2Hl(2zi/2) + + 2лizl/2 /1(2г1/2). В секторах Sh эти решения
становятся быстро меняющимися. Величина сектора Sk выбирается из условия
arg itz) Зг 0 (см. рис. 13), при этом подынтегральное выражение в (26.6)
не убывает и ¦функция Uk становится конечной лишь при учете слагаемого
f/ЗА. Иными словами, требование ограниченности функции Uk при больших t
приводит к тому, что решение в секторах Sh становится быстро меняющимся.
Полученные асимптотические представления для V, Uk, Ак вместе с
соотношениями (26.7'Г позволяют полностью решить вопрос о построении
асимптотических решений уравнения (26.2) во всей комплексной плоскости
переменного z. Исключение составляет лишь некоторая область вокруг
резонансной точки, внутри которой несправедливы использованные нами
упрощенные представления решений.
В качестве примера рассмотрим прохождение плав-лой моды через зону
взаимодействия [5]. Для вещественных z имеем
и,
- я] zJ 1!гН1 (2г jz |1/2) при z < О, inzll2H1 (2z1/2) + nA~3/2z~&!i
ехр (in/4 + + 2A1/2z3/2/3) при z > 0.
Поскольку плавное решение экспоненциально затухает при z > 0,
длинноволновая мода полностью переходит в коротковолновую. Как следует из
формул связи (28.7), медленно меняющееся решение трансформируется в
быстро меняющееся в некотором секторе. Если этот сектор не захватывает
действительной оси (такая ситуация имеет место, например, для уравнения
Орра - Зоммерфельда), то энергия падающей моды целиком логлощается в
окрестности резонансной точки.
§ 27. Модель с отражением
До сих пор, анализируя решения уравнения (26.1) в окрестности резонансной
точки, мы пренебрегали возможной пространственной зависимостью коэффици-
85
ента при члене с нулевой производной. В настоящем параграфе мы учтем
переменность обоих коэффициентов.
Рассмотрим в качестве модели следующее уравнение (см. § 4):
Ф1У + Л![УФ"+ (p + tf)q>]=0. (27.1)
Его анализ можно провести аналогично тому, как эта было сделано для
уравнения Орра - Зоммерфельда (см. § 26) на основе метода Вазова [1, 7].
Прежде чем приступить к его решению заметим, что при вещественных V и р
для уравнения (27.1) справедливо интегральное соотношение
U*dq>/dy - Uckp*/dy + ф dU/dy - <pdU*/dy +
+ЗХ2(фйф*/йг/ - <p*dq>/dy) = const, (27.2)
рЛ2^-1, U = d\/dy\
выражающее закон сохранения потока энергии взаимодействующих мод. Как и в
предыдущем параграфе, нас будет интересовать решение рассматриваемого
уравнения в окрестности резонансной точки. Поскольку уравнение (27.1) по-
прежнему анализируется методом Вазова, мы изложим путь исследования менее
подробно, останавливаясь лишь на основных соотношениях.
Уравнение (27.1) решается, как и раньше, методом Лапласа. Стандартная
процедура позволяет представить решение в виде интеграла по контуру
ф{у, ц, К) =
= f ds[(s + i)/(s - L)Y"exp (5s + s73X2)/(s2 + 1), (27.3) с
где 5 = у - X~2, 2ц = p + %~г. В отличие от предыдущего случая (26.3)
интегральное ядро имеет две точки ветвления s - dzi. Контуры
интегрирования, удовлетворяющие требованию обращения в нуль на их концах;
присоединенной билинейной формы, представлены на рис. 14. Соответствующие
формулы связи имеют вид Ai + A2 + A3 = V, Ai + Аг + А3 = Ui + U2, (27.4)
где Ai = Ai ехр (- 2я|Д А2 - Аг ехр (- 2я|а).
Достаточно далеко от резонансной зоны, в области,, где выполнены условия
|?| "тах{|М-*'3, Ш-2, 1ц/т, ' (27.5)
86
а
Рис. 14. Контуры интегрирования в (27.3) при argA=0 (а) и argA2 = 0 {б).
Секторы, в которых Re(i3/A)>0, заштрихованы.
решения вновь можно разделить на быстро и медленно меняющиеся. . Для
медленно меняющихся решений (V, Uh) интеграл, соответствующий (26.6),
сводится к функции Уиттекера, а для быстро меняющихся - интеграл,
соответствующий (26.5), по-прежнему, может быть взят методом перевала.
В качестве фундаментальной системы решений примем Uu U2 и A j, А3. Их
асимптотические представления при условии (27.5) выглядят следующим
