Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство леммы проведем по индукции. Действительно, утверждение очевидно при j = N, поскольку Tn симметрична. Предположим, что симметричность матриц X3Yj доказана при всех k < j < N и покажем, что отсюда следует симметричность Xk-iY^-i. Записываем Zn+ і в следующем виде, используя (2.268) и (2.269)
Zn+i = XkZk+1 + YkZk = Xk(TkZk — vlZk-1) + YkZk =
= (XkTk + Yk)Zk - V2kXkXk-U (2.270)
Отсюда следует, что Xk-i = XkTk + Yk, Yk-і = - viXk. Тогда Xk-iYk-i ' —vk(XkTk + Yk) = -VkXkTkXk — VkYkXk , первый член правой части Pa' венства симметричен вследствие симметричности матрицы Tk, а второй ' вследствие предположения индукции. Т.о., утверждение леммы доказано-Записывая матрицу Bn+ і подобно тому, как это сделано в соотноШе" ниях (2.269) для / + l=j, получим
Bn+! =Vl+lBi+i +Wi+iBi, (2.271) ^ ? библиографические замечания
матрицы Vl+1 И Wl+1 определяются из рекуррентных соотношений для
ГДтр®1 Дг ^3 леммы следует, что матрицы VJ+1 VFi^1 симметричны. В
** гтьнейшем опускаем индексы у матриц V и W. Аналогично для С-матриц даль
улучаем
CN+1 = VCi+!, (2.272)
ПОСКОЛЬКУ Cl = О, и для С-матриц имеют место те же рекуррентные соотношения, что и для O-матриц при j > I + 1. Используя то, что Ci+1 ос Z т0 что матрица CV+1 предполагается невырожденной, получаем, что существует матрица V~1. Тогда из симметричности VWt следует симметричность V-1W. Подставляя (2.271,2.272) в определение (2.264), получим, что
С = С^Вм+іВГ1 = (VCi+!)-1 (VBi+! + WB^Br1 =
(Ві+іВГ1 + V-1W), (2.273)
/Зі ,1+1
откуда следует, что матрица С симметрична, поскольку является суммой симметричных матриц Bi+iBf1 и V-1W, умноженных на константу.
2.5. Библиографические замечания
Изложение большой части материала в настоящей главе основано на работе Зайц и др. (1994). Доказательство теоремы об усилении, а также получение полного решения дифференциального уравнения Дайера-Редера основаны на работе Зайц и Шнайдера (1993), а некоторые вспомогательные утверждения для теоремы об усилении можно найти в работе Зайц и Шнайдера (1992). При определении коэффициента усиления гравитационных линз использован подход монографии Шнайдера и др. (1992). Впервые принцип Ферма использован для вывода уравнения гравитационной линзы и формулы для временной задержки наблюдения двух изображений Шнайдером (1985). Доказательство принципа Ферма основано на изложе-bHh Шнайдера и др. (1992). Более сильная формулировка принципа Ферма (а также доказательство соответствующего утверждения) приведено в Работе Перлика (1990). Отличное от изложенного (и от доказательства Перлика) доказательство имеется в работе Ковнера (1990). Изложение вывода уравнения гравитационной линзы, используя принцип Ферма, следует монографии Шнайдера и др. (1992) и статье Элерса и Шнайдера (1992), гДе имеется несколько более краткое изложение этого вопроса. Рассмотрение обобщенной квадрупольной линзы следует работе Зайц и Шнайдера (1993). Впервые обобщенная квадрупольная линза была рассмотрена в работе Ковнера (1987), где было предложено отличное от изложенного выше Доказательство симметричности матрицы С. Глава З
Основные понятия и свойства 3.1. Основные понятия
В настоящем разделе будут введены основные определения понятэд теории гравитационных линз, часто используемых в дальнейшем. Уравнение линзы в безразмерном виде
Напомним, что ранее было получено уравнение гравитационной лиц. зы в виде
Tl=^t-DdMt), (3.1)
где Tf - положение источника, f - вектор прицельного параметра в плоскости линзы, Dd - расстояние между наблюдателем и линзой, Ds - расстояние между наблюдателем и источником, Dds - расстояния между источником и линзой. Как корректно определяются эти расстояния в космологической модели, было описано ранее.
Как выше было отмечено, обычно рассматривается приближение плоской гравитационной линзы, поэтому, проектируя объемную плотность на плоскость линзы, получим выражение для поверхностной плотности массы ?(?). Тогда имеем выражение для угла отклонения
[ 4СЩ>) 2с,
a~L с2 (3-2)
где интегрирование проводится по плоскости линзы. Т.о., угол отклонения, обусловленный влиянием распределения поверхностной плотности масс, есть суперпозиция углов Эйнштейна для элементов массы dm =
Перепишем уравнения (3.1), (3.2) в безразмерной форме. Обозначим характерную величину длины в плоскости линзы ?о и соответствующую характерную величину длины в плоскости источника rjo — ?о Ds/Dd- Определим безразмерные векторы х = ? = 77/770,а также безразмерную плотность массы
fc(-) = ^, (з.з)
Z-iCr
где критическая плотность массы определяется следующим образом:
= їйшк = {<1 + «>М«> -xWl^n.«)}. <»¦<> Пгновные понятия
О' '
91
е - космологическая функция, г - безразмерное расстояние Дайера-Редера-
С учетом введенных определении уравнение линзы может быть „ереписано в виде
у=х~а(х), (3.5)
где
a^ = U k^l= Tira^- (3-6>
ж Jr2 \x — x'Y ?0Us Потенциальные функции
Нетрудно убедиться в том, что угол отклбнения может быть представлен как градиент относительно х
