Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
Замечания .
Заметим, что условие |а| < а, можно заменить на условие
-f
Iim A=I.
х-юо 1*!
Т.о., теорема может быть обобщена на все градиентные отображения, которые на бесконечности являются тождественным преобразованием.
При доказательстве теоремы 1 не использовалось условие положительности массы Дф > 0. Для доказательства утверждения теоремы 2 положительность распределения массы существенна.
Теорема о нечетности числа изображений, образуемых прозрачной гравитационной линзой, приводит к вопросу о том, почему в некоторых примерах гравитационных линз имеется два или четыре изображения. Ответ на этот вопрос заключается, по-видимому, в том, что теорема ничего не говорит об относительной яркости изображений. Кроме того, третье (или пятое) изображение может ослабляться вблизи центра галактики-линзы.
Главным следствием теоремы об усилении является то, что ни один источник не может быть ослаблен гравитационной линзой по^ 5 библиографические замечания 103
авнению с той ситуацией, когда источник наблюдается без гравитационной линзы.
Необходимые и достаточные условия появления кратных изображений
Предположим, что на расстоянии Dd от источника имеется поверхностное распределение массы Е. Возникает вопрос, является ли гравитационное поле линзы настолько сильным, чтобы возникали кратче изображения источника при Ds > Dd-
Тогда имеет место следующий критерий существования кратных изображений: прозрачная гравитационная линза может формировать кратные изображения тогда и только тогда, когда существует такая точка ж, что det А(х) < 0.. Действительно, если det А(х) > 0 для всех X, то уравнение линзы глобально обратимо, и, таким образом, кратные изображения не возникают. С другой стороны, если в некоторой точке Xq имеет место неравенство det Л(жо) < 0, тогда источник, находящийся в точке уо = у(х0), имеет изображение типа II, находящееся в точке Ж0- Тогда из теоремы 1 следует, что должно быть еще по крайней мере два изображения с положительной четностью.
Имеется достаточное (но не необходимое) условие появления кратных изображений: существует такая точка х, что k(x) > 1. Действительно, пусть существует такая точка хо, что к(хо) > 1. Тогда источник, находящийся в точке уо = у(хо), имеет изображение типа III, находящееся в точке ж о- Тогда, согласно теореме 1, должно быть, по крайней мере, еще два изображения.
3.5. Библиографические замечания
При определении коэффициента усиления, сходимости и сдвига гравитационных линз использован подход монографии Шнайдера и др. (1992). Вывод формулы для временной задержки приводится, следуя статьям Кайзера (1993), Кайзера и Рефсдала (1983) и монографии Шнайдера и др. (1992). Изложение теоремы о нечетности числа изображений прозрачной линзы следует работе Бурке (1981). Обсуждение индекса векторного поля, теорему Пуанкаре-Бендиксона можно найти в книгах Коддингтона и Левинсо-8а (1958), Хартмана (1970), Арнольда (1984). Две теоремы о прозрачных гравитационных линзах, а также условия появления кратных изображений Имеются в монографии Шнайдера и др. (1992). Впервые рассмотренные Условия появления кратных изображений были приведены в работе Субра-маниана и Коулинга (1986). Некоторые обобщения теоремы об усилении Изображений гравитационной линзы были приведены в предыдущей главе.Глава З
Уравнение линзы и усиление вблизи
особых точек
4.1. Основные понятия
Уравнение линзы, потенциал Ферма и обыкновенные изобра» жения
В настоящем разделе будем рассматривать уравнение гравитационной линзы в окрестности особых точек. Для анализа уравнения гравитационной линзы рассмотрим потенциал Ферма
Ф(*,У) = 1(*-У)2(4.1)
Предположим, что ж'0' - обыкновенное некритическое изображение для источника, положение которого определяется величиной т.е.
<^0) = О, D(0> = det A^ = det(Sij - = det ф 0, (4.2)
определяет величину определителя матрицы Якоби для точки x. Устойчивые особенности уравнения линзы Критические точки отображения линзы определяются уравнением
D^ = det фір = 0. (4.3)
Условие (4.3) образует подмножество на плоскости изображений. Это множество называется каустическим. Согласно теореме Сарда (Арнольд (1978)), это (каустическое) множество есть множество меры нуль. Ясно, что множество критических точек может иметь положительную меру.
Для критического изображения матрица Якоби А = (фі]) имеет ранг 1 или 0. Выберем такие критические изображения, для которых Rg A=I, т.е. одно собственное значение матрицы А равно нулю, и, кроме того, VD ф 0.
Итак, предположим, что в точке ж'0' имеют место соотношения Rg = 1 и
V?><°> ф 0. Введем декартовы координаты на плоскости линзы и плоскости источника так, что эти оси соответственно параллельны (и параллельны собственным векторам), т.е. симметричная матрица Л^0) становится диагональной, причем Л^}' ф 0, A22 = О-Особенности типа складки
____________
105
этом случае направление Ж2-координаты совпадает с направлени-® Собственного вектора, соответствующего нулевому значению. Поскольку
D = фпф22 - ФІ2, (4.4)