Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Захаров А.Ф. -> "Гравитационные линзы и микролинзы " -> 36

Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.

Захаров А.Ф. Гравитационные линзы и микролинзы — M.: Янус-К, 1997. — 328 c.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка): gravitacionnielinzi1997.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 127 >> Следующая


c(t) = у + R(cost,smt). (3.26)

Тогда соответствующая граничная кривая изображения

d(t) = X + ^_1^(cosi,sini). (3.27)

Ясно, что граничная кривая для изображения есть эллипс с центром, определяемым вектором ж, и с главными осями, параллельными собственным векторам матрицы А, причем длины этих полуосей определяются следующими соотношениями:

- ІТТТІ-^ <«>

а углы поворота главных осей эллипса - <р±:

arctg ** = ? т + (3'29) ? Ч Временная задержка

95

коэффициенты Л± характеризуют растяжение изображения в vx собственных направлениях (они обратно пропорциональны собственным числам матрицы А). Площадь изображения больше площади источника на множитель |Л+Л_| = | det = Эллипс вы-пождается в окружность, если и только если или сдвиг обращается в

^уль 71 = Ъ = или tr Л = т-е- * = L

Заметим, что приведенное рассмотрение было проведено при условии det Аф 0.

3.2. Временная задержка

Уравнение линзы, явно содержащее положение наблюдателя

ранее было рассмотрено уравнение гравитационной линзы так, что оптическая ось соединяла наблюдателя и "центр" линзы. Рассмотрим уравнение гравитационной линзы для случая, когда наблюдатель не находится на оптической оси, а удален от нее на расстояние, определяемое вектором ?, т. е. проведем оптическую ось через точку О' и "центр" линзы L. Наблюдатель О находится на расстоянии, определяемом вектором С, от точки О'. Источник, удаленный от старой оптической оси на расстояние, определяемом вектором т], находится от новой оси на расстоянии, характеризуемом вектором г/'. Старая и новая оптическая ось пересекаются, образуя угол <р. Ясно, что можно записать уравнение гравитационной линзы с использованием старой оптической оси

Ti=^i-DdlAd). (3.30)

Ud

Замечая, что

<P=(V-V')/Dds = c/D(zd,0), (3.31)

получим зависимость между ? и т].' Исключая Tf в уравнении (3.30) ( используя (3.31)), получим с учетом D(zd, 0) = (1 + zd)Dd

T

¦°-> в уравнение линзы входит лишь комбинация

Dds

V = V1 +

A<(l + zd)'

^cjIh обезразмеривать уравнение, то безразмерная переменная

У = — (V + 777ТТ—гСІ (3.33)

TJ0 . Dd(l + zd) . 96 Глава 3. Основные понятия и CBoiict,

содержит положение и источника, и наблюдателя. В частности, ^tk жно выбрать такое положение оптической оси, что rj' = 0, тогда ^ эквивалентно безразмерному положению наблюдателя. Вывод выражения для временной задержки Получим выражение для временной задержки для двух изображен^ источника. Предположим, что наблюдатель, находящийся в точке определяемой вектором ?, видит два изображения выбранного источника, характеризуемые векторами и В случае, если положение источника меняется, то меняется и положение изображений В частности, если наблюдатель движется вдоль кривой C(A), тогда имеются кривые ^'(А), ?'2'(А), характеризующие положение изображений. Тогда разные изображения достигают наблюдателя в разные моменты времени, разделенные временным запаздыванием, а положение наблюдателя в эти моменты отличается на вектор d?. Тогда

d(cAt) = tidC. (3.34)

Интегрируя уравнение (3.34) вдоль кривой ?, получим выражение для временной задержки

сД<(С) = Ґ «(С) • dC + сД<(Со). (3.35)

J<0

Из формулы (3.35) видно, что задержка состоит из двух частей: геометрической и потенциальной.

Связь временной задержки с потенциалом Ферма

Угол, разделяющий два изображения ?^'(А) и ?'2'(А), равен

(3-36)

а безразмерный вектор смещения наблюдателя определяется из соотношения

dC={l + Zd)t0-?-dy, (3.37)

Uds

откуда из (3.35) получаем

cAt(y) = Й + Г dy' ¦ M2V) - ^1V)]. (3-38)

UdUds Jy0

Используя тождество X ¦ dy = d(x • у) — у ¦ dx, а также уравнение линзы в виде у = X — \7ф(х), получим

X ¦ dy = d(x ¦ у) — X ¦ dx + ф(х) = d

ТогДа

/VVaV)--tlV)] =

Jyo

= [ф(х(іку)-ф(х(2ку)]-[ф(х^>у)-ф(х^,у)], (3.39)

где ®о'>г = ^положение изображений для наблюдателя, которо-му соответствует вектор у о- Предположим, что два изображения сливаются, если наблюдатель приближается к точке уо (это происходит, если уо лежит на световом конусе источника). Тогда Жц1' = XiO К At {у о) = о, и получаем

cAt(y) = ^7^-(1 + *лШ(*11)>У) - Ф(*(2),У)1 (3.40)

IJd Uds

Т.о., можно заметить, что выражение для временной задержки не зависит от выбора точки уо.

Из предыдущего рассмотрения нетрудно заметить, что функция

определяет с точностью до аддитивной константы время, за которое луч света от источника достигает наблюдателя, проходя через плоскость линзы в точке, которая характеризуется вектором х относительно времени, необходимого лучу, пересекающему плоскость линзы в точке, характеризуемой вектором х = у, на который не влияет гравитационный потенциал линзы. Поскольку в конечное выражение входит лишь вектор у, то мы вновь можем вернуться к системе отсчета, где наблюдатель находится на оптической оси, и положение источника характеризуется величиной tj = г)оу. Заметим, что функция Т(х,у) не зависит от выбранного масштаба расстояния ?о> поскольку потенциал Ферма нормируется на величину . Первый член в выражении (3.40) описывает временную задержку, обусловленную Уклонением луча от прямой линии, а второй член характеризует вРеменную задержку, связанную с влиянием потенциала отклонения Т.о., разделение временной задержки на геометрическую и по-Тенциальную часть получается довольно естественно в рамках изложенного рассмотрения. 7-2441 98 Глава 3. Основные понятия и CBoiict,
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed