Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
Обобщенная квадрупольная гравитационная линза ъ
° некоторых случаях, когда имеется несколько характерных масштабов Длины в задаче об отклонении луча света, например, отклонение луча све-Та звездой, находящейся в галактике, или отклонение света галактикой вНутри скопления галактик и т.д., необходимо рассматривать модель ква-^Рупольной линзы. Плоскость, где находится более массивная линза, называем плоскостью главной гравитационной линзы. 86
Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
Уравнение обобщенной квадрупольной линзы. Рассмотрим N плоскостей линзы, и главную линзу обозначим индексом I. Будем считать, ЧТо угол отклонения BO всех ПЛОСКОСТЯХ ВПЛОТЬ ДО I определяется ИЗ СООТно. шения сні — Ot0i + UiXi, где, как было определено ранее, Ui - матрцц4
Ui = доч/дхі. (2.251)
Тогда получим выражения для безразмерного прицельного параметра в j. ой плоскости
X3 = B3X i-u}, 1 <j<l, (2.252)
а 2 X 2 - матрицы B3 и векторы U3 определяются рекуррентными соотношениями:
J-I
B3=I-^Pi3UiBi, 2 < j <1, (2.253)
J-I
uJ = ]С Ph(а° - 2 < j < /, (2.254)
t=i
a также B1 = X, Ui= 0. Заметим, что при j < I имеем B3 = Aj = dxj/dxi (матрица B3 совпадает с матрицей Якоби A3). В главной плоскости линзы угол отклонения равен сумме угла отклонения крупномасштабной неоднородности a° +UiXi, и угла отклонения главной линзы am так, что Oti = at°+Uixі+atm(xi). Заметим, что матрица Ui определяется только крупномасштабным распределением плотности. Для j > I векторы, определяющие прицельный параметр, найдем из соотношений
X3=B3Xl-U3-Cjam(X), l<j<N + 1. (2.255)
В соотношении (2.255) JXT-вектор, определяющий прицельный параметр в плоскости главной линзы X := Xi = BiXi — Ui, а 2 х 2 - матрицы и векторы и j определяются рекуррентными соотношениями:
j-i
B3=I- Y,^3U,Bi, 2<j<N+\, (2.256)
i=l
j-i
U3 = -U.Ui), 2 < j < N + 1, (2.257)
i=l
j-1
C3 = ?i3l - ?) ?ijU,Ci, l + i<j<N + l (2.258)
.=(+1 2 4 Вывод уравнения линзы из принципа Ферма 87
ме того, выполнено начальное условие для С-матриц С;+1 = /9(,(+1X. Otcjoда, используя то, что ?,s = ?i,N+i = 1, получаем для плоскости ис-^чняка j = N + 1 \
V = BsXl-U1-CsOtm(X), (2.259)
N
Bs = X-J^UiBi, (2.260) i=l
N
us = - U,Ui), (2.261) i=i
J-I
Cs=X-J^UlCi, (2.262) і=(+І
делая линейное преобразование в плоскости линзы
Y .= Cs'1 (у+ и,-BsBr1Ul) (2.263) и определяя матричное произведение
С -.= Cs-1BsBr1, (2.264)
получим, что уравнение (2.259) может быть преобразовано в уравнение обобщенной квадрупольной линзы
Y = CY — Otm(X). (2.265)
Уравнение (2.265) формально эквивалентно уравнению квадрупольной линзы, если матрица С симметрична. Матрица телескопа ( С ) определяется тремя матрицами Cs, Bs, Bi, и минимальное требование эквивалентности Уравнений (2.259) и (2.265) есть невырожденность этих трех матриц. Заметим, что невырожденность Bi гарантируется между вектором Xi и вектором X, невырожденность Cs обеспечивается существованием взаимно однозначного соответствия угла отклонения в плоскости главной линзы и вектором, определяющим положение источника, невырожденность Bs свя-3aHa с существованием невырожденного отображения между вектором Xi и вектором у.
Рекуррентные соотношения для В- и С-матриц. Как следует из ^отношений (2.120), для матриц B3 также (как и для матриц A3) ВЫПОЛНЯЮТСЯ рекуррентные соотношения
В1+1 = T3B3 - v23B3-I, 1 <j<N. (2.266)
приведенных соотношений следует, что матрицы В описывают, как пУчок света (без учета угла отклонения главной линзы) отображается от Ваблюдателя через набор плоскостей к плоскости источника. Напомним Вачальное условие Bi =X, v0= 0. 88 Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
Для удобства рассмотрения С матриц расширим их область опредЄі( ния, определив Ci — O, где О - нулевая матрица. Тогда можно показу (например, по индукции), что С-матрицы удовлетворяют тому же самоц, рекуррентному соотношению, что и O-матрицы, а именно,
Cj+ ^=T3C3-V2C3-U I + 1 < j < N, Bi = X. (2.267)
Для соотношений (2.267) можно привести интерпретацию: т.к. Ci = Q „ С;+1 = /З;,;+її, то они описывают, как круговой световой пучок отобра. жается от наблюдателя, расположенного при значении красного смещения г = 2(, к источнику линзами, находящимися между этим наблюдателен и источником. Произведение B?+1Bi - симметричная матрица (это можно доказать из рекуррентных соотношений по индукции с использованием гра. ничных условий и симметрии матриц T3). Поскольку ранее было сделано предположение, что матрица Bi невырождена, то рассмотренная симметричность эквивалентна симметричности Bi+iBj'1.
Симметричность матрицы телескопа. Для доказательства симметричности матрицы телескопа С рассмотрим вначале следующую лемму: рассмотрим 2x2 -матрицы над полем действительных чисел, которые удовлетворяют рекуррентным соотношениям
Z3+i =T3Z3 -V3Z3-U m<j<N, (2.268)
где Т„,т < п < N - симметричные 2x2- матрицы, тогда, записывая матрицу Zn+ і в виде
Z3+1 = T3Z3 - V3Z3-U m<j<N, (2.269)
получаем, что матрицы X3Yf (или, что эквивалентно Y3Xj) симметричны.
