Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
і = фік, то в точке х(°) нормальный вектор к критической кривой
foi Ґ01
VP имеет компоненты VD1- ' = Фіі ФІЩці- Отсюда ясно, что касательный вектор к критической кривой получается поворотом на угол ,г/2 вектора VD, т.е.
Г<°> = Л (I) VD<°> = ^)(-4?, -ф<&), (4.5)
где T - касательный вектор к критической кривой, R (тг/2) - оператор поворота на угол тг/2. Т.о., имеется две возможности в зависимости от обращения в нуль результата действия матрицы Якоби на касательный вектор к критической кривой в точке х(°), а именно,
А(°)Т(°) ф 0, или фЦ\ ф 0, (4.6)
или
Л(°)Т(°) = 0, или ф&\ = 0. (4.7)
Заметим, что если с(А) - критическая кривая в плоскости линзы, то соответствующая каустическая кривая - 7(A) = у(с(А)), а касательный, вектор к кривой 7(A) может быть представлен как Л(А)Т(А). Из соотношения (4.6) следует, что в этом случае касательный вектор °пределен, в то время как в случае выполнения условия (4.7) этого Утверждать нельзя.
4-2. Особенности типа складки
Пусть в некоторой точке ж'0'
= О, R (тг /2) VD'0' ф 0. (4.8)
Ясно, что по теореме о неявной функции существует такая окрестность точки х(°), что условия (4.8) оказываются выполнены для всех бачений X, для которых D = 0. Точка, в которой выполнены соот-НоШения (4.8), называется особенностью типа складки. 106 Глава 4. Уравнение линзы и усиление вблизи особых то,
4.2.1. Локальное разложение потенциала Ферма
Предположим, что соотношения (4.8) выполнены, тогда выберем стему координат т.о., что
ф[0) = ф§» = = фЩ = о, ф(0)^0, 4? ф 0. (4s
Тогда разложение Маклорена потенциала Ферма ф в окрестности Trjl ки х'0', у'0' имеет вид
111
+ 2 ^mxIx2 + 2^122XiX2 + ^222x2 + X1P3 + Я4 = 0, (4.10)
где Pi - однородный многочлен г'-ой степени, Rj - остаточный многочлен j-ой степени, и отображение, определяемое гравитационно! линзой, может быть записано в виде
Уі = (/»ft'xi + ф^2х ix2 + ^</>122ж2 + + Яз,
У2 = ^1?*? + ^03Was3 + \\*l + Лз. (4.11)
Тогда в окрестности особой точки типа складки отображение, опре деляемое уравнением гравитационной линзы, имеет вид
2/1 =^n «І + </>П2®1®2 + ^122^2.
2/2 = ^llUl + ФІ22хІ*2 + ^222- (4'12)
Для укорочения разложения в ряд Маклорена в окрестности складки можно использовать, в частности, многогранники Ньютона, как предложено в монографии Брюно (1979). Для получения укороченных разложений можно использовать также методы, разработанные в теории особенностей гладких отображений (теории катастроф, см., например, Гилмора (1984), Голубицкого и Гийемина (1977), Брекер3 и Ландера (1977), Постона и Стюарта (1980)).
Для матрицы Якоби отображения гравитационной линзы имеем
А = ( ^ + ^°12*2 ^1°12*1 + ^122*2 ] • (4 13)
\ Фп\*і + Фі°і\х2 ф[°2\хі + ф(22\х2 j
Для касательного вектора к критической кривой в окрестности начала координат имеем из условия D = det A = O уравнение прямой (на Особенности типа складки
4.2------
107
пой лежит этот касательный вектор)
цотор
^IiUi + = 0- (4.14)
окреСтности начала координат получаем из соотношения (4.14) и ^ображення линзы (4.12) уравнение для каустической кривой
Q(V) := 2(^°')2^?? - [ф[°Ы1\ - (Ф[1\)2]УІ (4.15)
T к- из условия (4.8) следует, что производная отображения линзы в направлении критической кривой отлична от нуля, то в окрестности начала координат критическая кривая диффеоморфна каустике.
Изучим более детально обратное (отображению гравитационной линзы) отображение х >-> у. Решая первое уравнение (4.12) относительно XI, подставляя результат во второе уравнение и пренебрегая членами, малыми по сравнению с х2, получаем
_. Ф222У1 - Ф!дай» ф[°2\уі ± VQjy) ,41fn
Ж1~ фШ ' «М ' ( )
Для получения первого из соотношений (4.16) (точнее, для учета главных членов в разложении Маклорена) удобно использовать многоугольник Ньютона. Поскольку определитель D меняет знак на критической кривой, то два изображения имеют противоположную четность.
Если обозначить расстояние от источника до каустики как Ay2 и соответствующие расстояния от критической кривой до изображения как Ax2, то получим из соотношений (4.15) и (4.16) для источников, находящихся с положительной стороны от каустики,
А У2=Я(у)/(ЧФ{А))2фй), (4.17)
Дх2 = ±фАу2/ф?\. (4.18)
В этом случае усиление этих изображений, полученное из якобиана отображения у н-> х, определяется соотношениями: (4.16)
ІРІ = 1/(^ фф{22}2 Ay2). (4.19)
Общий коэффициент усиления fip точечного источника вблизи от каустики равен
ЦР -
+ Но, (4.20) 108 Глава 4. Уравнение линзы и усиление вблизи особых Toti^
где /ло - коэффициент усиления других изображений источника в^ окрестности ТОЧКИ X^0k Т.О., при приближении К каустической Kp11 вой точки, характеризующей положение точечного источника, ег0 изображения становятся ближе друг к другу и ближе к критической кривой, и, тем самым, ярче. Когда источник пересекает каустиче. скую кривую, то изображения сливаются и исчезают. При слиянщ изображений усиление становится бесконечно большим. Такой ре. зультат является следствием двух предположений модели, по край-ней мере одно из которых становится неверным вблизи каустики, т.е, необходимо отказаться или от модели точечного источника, или от приближения геометрической оптики (или отказаться от двух этих предположений).
