Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
CAtgeom = (1 + Zd)~^(9 - ?)2. (2.227)
Uds
Нетрудно убедиться в том, что выражение (2.227) для геометрического времени запаздывания выполняется также для случая евклидова пространства (к = 1), поскольку основные соотношения для сферической геометрии выполнены также и на плоскости (можно рассмотреть и предельный переход» когда характерный радиус сферической геометрии стремится к бесконечности), в случае гиперболического пространства (к — —1) можно проделать аналогичные вычисления, заменив тригонометрические функции на гипер" болические.
Для того, чтобы получить выражение временной задержки, обусловлен" ной влиянием потенциала гравитационной линзы, вспомним определен!'6 потенциала ф (2.219) и получим
cAtpct = (1 + Zd)i/>(?) + const, 2 4 Вывод уравнения линзы из принципа Ферма
83
константа имеет одно и то же значение для всех лучей, испускаемых от ^koctii источника до наблюдателя. Тогда из соотношений (2.227, 2.228)
cAt = (1 + zd) I-1IO - ?f - + const. (2.229)
:тановку D = функции (2.155), имеем
Делая подстановку D = er/Но и используя определение космологической
(1 + Zd)^- = ^lx(Zd) - X(Zs)]-1. (2.230)
Разделяя потенциал отклонения ф на масштабный фактор и безразмерную функцию ф, используя подстановки в = S/Dd, $о = Dd, получим
ф(Оав) = 211Бф(в), ф(в) := J ?(в')Ы\в-9'\d26', (2.231)
где функция
Щв) := 40^D2d (2.232)
описывает часть общей массы М, находящейся внутри телесного угла d20' из точки, где находится наблюдатель Rs — 2GM/c2. Используя введенные обозначения, запишем соотношение (2.229) в виде
сД t = ф(в, ?) + const, (2.233)
где
= Шх(*7-L) -2Rs(x + (2-234)
Для г < 1 имеем z и с-1H0D, x(z) ~ z~l A cI(HoD), и получаем, что потенциал Ферма (2.233) сводится к локальному потенциалу Ферма (2.218). Космологическое уравнение гравитационной линзы. Используя принцип Ферма для вывода космологического отображения гравитационной линзы в !->¦ ? из условия дф/дв = 0, получим
Это
? = 0- Jjpr(l + «)[*(*.) - x(*')]f?- (2.235)
Уравнение может быть также записано с использованием величин
i = Dde, f) = D,?, (2.236)
в
виде
V = ^rt- Dd.&(t). (2.237)
6* Ud 84 Глава 2. Уравнение гравитадионной лиіщ
Следует заметить, что величина ? ненаблюдаема. Поэтому, если имеете, два изображения, которым соответствуют векторы в і, Oj с углом раздеЛе ния изображений в,3 := в, — в3 и временная задержка Atij, то:
9,3 = + Zd)lx{Zd)-x{z')] (ff(0,)' ff(0j)) - (2-238) (1 + *d) + ff (<м) - (Ф(0.) - 0(0)} . (2.239)
с
Рассмотрим случай точечной линзы. Тогда ф(в) = In |0|, и получаем выражение для временной задержки
2 Rs, /а2 "2
At 12 =
/б2 _ б2 Й \
Обозначая через v отношение абсолютных величин усилений двух изображений, получим из (2.240)
At12 = ^(1 + zd)(v1/2 - i/_I/2 + In v). (2.241)
Принцип Ферма в теории гравитационных линз, расположенных на наборе плоскостей
Предположим, что имеется N плоскостей, на которых имеются поверхностные распределения массы причем этим плоскостям соответствуют значения красного смещения 2,, і = 1,..., /V, упорядоченные т.о., что і < j, zi < z3. Предположим, что источнику соответствует значение красного смещения z„ > zn . Ранее было получено уравнение гравитационной линзы для этого случая (2.140).
Рассмотрим световой луч, прохождение которого через J-ую плоскость характеризуется вектором X3, и пусть он отклоняется только в і-ой плоскости, причем соответствующий прицельный параметр в этой плоскости - Xi. Тогда временное запаздывание относительно неотклоненного луча с точностью до несущественной аддитивной константы:
Tiiixit Xj) = 1±*МіфіЛХі, х3), (2.242)
с vij
где потенциал может быть записан через поверхностную плотность массы
Ыъ.Ъ) = k*i-*,)2-4aTn0ij [ d2x'. (2.243)
1 с из Jrз
Введем обозначения
^ = JRT = = W*') - X(Zi)I (2-244)
1J3Uxs х<з
ф(х) = і [ d2x'k(x')ln\x - х'\, Jb(SE) = ^В'ВьЩо*) (2.245)
w jrз ' c2ds 2 4 Вывод уравнения линзы из принципа Ферма
85
_ масштабный параметр в плоскости линзы. Тогда для временной
где C0
ддЄрЯоси имеем следующее выражение
1 + ^ DiD3
Ti3(XiyX3) =
с Di
1 2
-(Xi-X3) -Рі3фі(Хі)
(2.246)
Суммируя временную задержку на всех плоскостях, получим
N
Т(х\,..., Xn, у) = ^Ті,і+і(Жі,а!і+і), xN+i = у.
(2.247)
Тогда принцип Ферма, примененный к данному случаю, утверждает, что физические траектории лучей - это те траектории, для которых T стационарно по отношению ко всем аргументам, т.е.
^-т.3(хи...,xN,у)=—y: j j t=i
1 j
- хз) -ХізФі(Хі)
= 0,(2.248)
для 1 < j < N. Из уравнений (2.248) имеем
X2 = Xi — ^-оц, Х12
Xj+i = Xj-''j X3 - Zi=Iti-X1-I - (2.249)
Xj-i,j+i Xi j+ 1 Xj ,i+1
т.о., из соотношений (2.249) и из определения величины \i3 (2.244) получаем (из принципа Ферма) уравнения, описывающие отклонение луча света гравитационны ми линзами, расположенными на наборе параллельных плоскостей
J-I J-I
X3 =Xi-J2—a = xi-J2 (2.250)
.= I х%3 i=i
т-е. уравнения линз для данного случая могут быть выведены из принципа ферма.
