Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
^det 5(п)(г7) = 2апг7 + Ь„. (2.172)
Квадратный трехчлен det S^ (г/) имеет дискримингшт
Disc(n) = (tr Sn)2 - 4 det Sn > 0, (2.173)
тем самым, этот трехчлен имеет два корня Г7 Є [—оо, оо], которые совпадают при Disc'"' = 0. Предположим, что ьп ^ 0) тогд&
det 5'%)] I = b„ = tr Sn — 2, (2.174)
Ldr? JItj=o
и т.к. det S^(O) = 1, то имеется только два типа парабол (в зависимости от знака а„). Для обоих типов парабол имеют место неравенства
0<det^'n)(r7=l)<l, [AdetS<")(,)]| <0, (2.1751j Вывод уравнения линзы из принципа Ферма 73
-----.
куда сразу следуют неравенства (2.168, 2.169). Т.о., остается лишь до-азать, чт0 Ьп < 0 для любого п. Дадим доказательство этого факта, „спользуя метод математической индукции. Нетрудно убедиться, что
tr Tn < 2(1 + v2n). (2.176)
Действительно, из неотрицательности массы следует, что tr Un > 0, тогда поскольку из определения Tn := (1+ v2)!- ?n,n+iUn, то получаем неравенство (2.176). Для п = 1 из неравенства (2.176) следует, что Ьі = tr Ti -2 < О, т е. необходимое неравенство доказано при п = 1. Предположим, что неравенства (2.168), (2.169) выполнены для всех значений j < п — 1. Покажем, что отсюда следует, что Ьп < 0. Поскольку tr S^1 = tr Sk/det Sk, то из соотношения (2.167) получаем, что
Ь„ = [tr Sn- 2] = tr Tn - t?(tr S„_i/det Sn-1) - 2. (2.177)
Т.к. матрица Sn-1 симметрична, и из предположения индукции следует, что определитель и след матрицы положительны, то можно получить оценку tr Sn-1 > 2-v/det Sn_i, и, наконец, получить с учетом det Sn-1 < 1, что
f > .. 2„ > 2. (2.178)
det Sn_i - Vdet Sn-1 - v '
Тогда из соотношений (2.176 - 2.178) следует Ьп < 0. Тем самым, теорема об усилении доказана.
2.4. Вывод уравнения гравитационной линзы из принципа Ферма
Приведем, следуя подходу Шнайдера и др. (1992), вывод уравнения гравитационной линзы, используя вариационный принцип Ферма. В процессе вывода нами будут использованы гипотезы несколько более сильные, чем примененные ранее при альтернативном выводе уравнения гравитационной линзы. Однако приведенный ниже вывод является весьма элегантным, и использованные при его выводе понятия часто применяются в теории гравитационных линз. Принцип Ферма Имеет место следующая
Теорема. Гладкая кривая у, связывающая источник S с наблюдатели, является лучом света (нулевой геодезической) тогда и только тогда, когда время прибытия луча на мировую линию наблюдателя I есть стационарная величина относительно первой вариации у в классе гладких кривых из S к /.
Нетрудно установить необходимость данного условия. Пусть имеется Параметризация кривой I - ?а(т)'. Этой параметризации соответствует
'Греческие буквы в качестве индексов переменных обозначают координаты (°Д,2,3), а латинские (1,2,3).74 Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
4-скорость ua = d?a/dT, и пусть rja(v,i) - семейство изотропных кривьц, исходящих из события S к кривой I, ЧТО 0 < D < 1, |е| < Co (для некоторой положительного значения е0), i7a(0,е) = Za(S), r7Q(l,е) = ?а(т(е)), и дЛ любых значений t; и trjarja = 0. Будем обозначать точкой ковариантнц производные по направлению v на кривой 7(e). Применяя стандартное Jttt, тегрирование по частям в вариационном исчислении и следующие 0603?, чения: А-событие, соответствующее пересечению нулевой геодезической f
мировой линией наблюдателя, S := —()е=о и J... = J0 dv..., получим
0 = S J ^TJcTj" = (rjaUa)AST— J TjaSrja. (2.179)
Поскольку 7(0) - геодезическая, и без потери общности можно считать, что эта геодезическая аффинно параметризована, тем самым, ff = 0, т.к. т)а -светоподобный вектор, Stia - времениподобный вектор, и оба этих вектора направлены в будущее, то величина (TjaVa)A положительна.
Докажем достаточность данного условия. Варьируя TjaTf = 0, получаем
Tja(Srf)' = 0. (2.180)
Дополнительно должны быть выполнены условия
V(O)=O, Srja(I) Il u% (2.181)
Предположим, что на кривой 7(0) существует векторное поле, удовлетворяющее приведенным условиям, и имеется семейство 7(e) варьируемых кривых так, что Srja - его вариация. Возьмем произвольное гладкое векторное поле wa на кривой 7(0), которое обращается в нуль на ее концах tt)(0) = ш(1) = 0, и параллельно перенесем вектор иаА "назад" по кривой 7(0) и получим вектор ua(v). Тогда вектор
г а/ л а, л а/ л f V>?(v)rf(v)
Srj (V) (V) -u (v)Jo -fijLj^-Idv
удовлетворяет условиям (2.180 - 2.181). Поэтому, согласно предыдущему предположению, Srja - "возможная" вариация. Если St = Ua(I)J^a(I) = 0> тогда <Jr7a(l) = 0 (согласно аргументам, приведенным выше) и
f1 Wa-^dv =- Г wa (-!?-) dv = 0. (2.182)
Jo u?u? Jo Ku?uPJ
Т.к. векторное поле W? - произвольное, откуда следует, что величина rja/u?u? постоянна на кривой 7(0), т.е. 7(0) имеет нулевую ковариант-ную производную, следовательно, эта кривая геодезическая. Покажем, чТ° для заданного векторного поля Srja на 7(0) существует семейство ну левы* кривых {7(e)}. Предположим, что окрестность кривой 7(0) может быть2 4 Вывод уравнения линзы из принципа Ферма 75