Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
а = W, (3.7)
где
1 Г 4GS(Q ,
Hx)-*L * (3-8)
- логарифмический потенциал, ассоциированный с поверхностной
плотностью к(х). Т.о., отображение х >-> у есть градиентное отображение
у = V (^x2 - (3.9) или, если ввести скалярную функцию
ф(х,у)= 1-(х-у)2-ф{х), (3.10)
ТО
Уф(х,у) = 0, (3.11)
гДе градиент берется по переменной х. Можно заметить также, что имеется уравнение Лапласа, выражающее связь функций ф vi к,
Аф = 2к, (3.12)
гДе лапласиан берется по переменной х. 92 Глава 3. Основные понятия и CBoiict,
Коэффициент усиления, сходимость и сдвиг
Ранее уже было введено понятие коэффициента усиления гравитацй, онной линзы. Повторим эти определения для данного случая. Так если матрицу Якоби обозначать как
то коэффициент усиления определяется как ц(х) = 1 /det Л(ж).
Т.о., изображение бесконечно малого источника, находящегося в точке, определяемой вектором X, будет усилено (или ослаблено) В |//(ж)| раз. Коэффициент усиления может быть положительным или отрицательным, тогда говорят, что соответствующие изображения имеют положительную или отрицательную четность. Для некоторых значений X величина det А(х) может обращаться в нуль (тогда ц(х) обращается в бесконечность), такие точки называются критическими. Ясно, что обращение в бесконечность коэффициента усиления свидетельствует о том, что необходимо рассматривать или протяженный источник (а не точечный), или приближение волновой оптики. Из соотношений (3.13) и (3.10) следует, что
Aij = 4>ij = Sij - 4>ih (3.14)
где частная производная по переменной ж,- обозначается индексом і. Из соотношения (3.14) следует, что матрица А симметрична. Используя уравнение (3.12), получим, что матрица Якоби может быть записана в виде
А=(1~к-Ъ 1 7* ), (3.15)
\ -72 1 - Ar + 71 /
где 71 = (фи — '022)/2, 72 = 012 = Ф21 ¦ Тогда имеем следующие выражения для определителя и следа матрицы А:
det A = (1 - Ar)2 - 72, tr A = 2(1 - Ar). (3.16)
Для собственных чисел матрицы А имеем
Ciii2 =I-Ari7. (3.17)
В выражении для определителя (3.17) у обозначает величину
7
= \Ai2 + 722- (3-18)
Величина I-Ar называется сходимостью или Риччи-фокусировкой, а 7 называется сдвигом. ? I Основные понятия
93
классификация обыкновенных изображений
?сли зафиксировать величину у, то потенциал Ферма ф(х,у) определяет двумерную поверхность. Обыкновенным (т.е. некритическим) изображением источника, находящимся в точке х, называется изображение, Для которого V^ = O (это условие соответствует тому, что в точке X имеется изображение источника), и матрица Якоби ф^ = Aij в этой точке невырождена. Т.о., обыкновенным изображениям соответствуют локальные экстремумы и седловые точки поверхности ф. Минимум функции ф характеризуется положительной определенностью матрицы А, максимум функции ф характеризуется отрицательной определенностью матрицы А, седловые точки характеризуются тем, что матрица А имеет собственные числа противоположного знака. Следовательно, могут быть следующие типы обыкновенных изображений:
Тип I. Этому типу соответствует минимум ф, тогда det А > 0, tr А > 0, т.е.
7 < 1 — А < 1, а,>0, Ц->1. (3.19)
— — і _ —
Тип II. Этому типу соответствует седловая точка ф, тогда det А < 0, т.е.
(1 — к)2 < 72, O2X) >ai. (3.20)
Тип III. Этому типу соответствует максимум ф, тогда det А > О, tr А < 0, т.е.
(1 — к)2 > 72, а,- < 0, к> 1. (3.21)
Ориентация и форма изображений
Рассмотрим источник, находящийся в точке, определяемой вектором У, и имеющий не находящееся на критической кривой точечное изображение, определяемое вектором X. Пусть вектор Y - вектор смещения в плоскости источника, отображается на вектор X, прикрепленный к точке X. Тогда
Y = АХ. (3.22)
Если вычислить скалярное произведение векторов X и Y, то получим
2
X Y = AijXiXj. (3.23)
ij=i 94
Глава 3. Основные понятия и CBoiict,
Из соотношения (3.23) следует, что для изображений типа I поло^, ние угла изображения отличается от положения угла источника Jil угол менее тг/2 (по абсолютной величине), а для изображений тщ. III отличается на угол более тг/2.
Рассмотрим два вектора смешения в точке, определяемой вектг ром у, Y и Z и соответствующие векторы, определяющие изображу ния X и W. Определим ориентацию пары векторов YaZ, как зла» выражения компонента нормали к плоскости источника п,
YxZ-.= (Y1Z2 - Y2Z1)n = det ^ ^ ^ ^ п. (3.24)
Тогда из соотношения (3.22) получаем
Отсюда следует, что для типов I и III (изображений с положительной четностью) ориентация сохраняется, в то время как для изображений с отрицательной четностью ориентация меняется, тем самым, поясняется смысл определения четности. Из формулы (3.25) вновь можно увидеть, что если построить параллелограмм на векторах Y и Z в плоскости источника, то площадь параллелограмма, построенного на векторах X и W, равна площади исходного параллелограмма, умноженного на коэффициент усиления.
Для того, чтобы исследовать форму изображений, рассмотрим маленький круговой источник радиуса R, расположенный с центром в точке, определяемой вектором у, т.е. рассмотрим окружность
