Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
а) Ti1 > 1,
б) п < оо,
в) щ + пш = 1 + nIi,
г) при достаточно большом значении |у| имеет место n = п/ = 1.
Из теоремы 1 следует, что общее число изображений n = nj+TiljJt. пи = 1 + 2пи нечетно, число изображений с положительной четностью превышает число изображений с отрицательной четностью на единицу, пи > nIii и n > 1, если и только если пі і > 1- Т.о., из теоремы 1 следуют результаты теоремы Бурке (1981), доказательство которой было приведено выше. Индексы обыкновенных изображений
Рассмотрим векторное поле X = Х7ф(х,у), где лапласиан берется по переменной X. Стационарные точки векторного поля, которые соответствуют обыкновенным изображениям, являются минимумом, максимумом или седловой точкой потенциала ф. Для того, чтобы найти индексы этих точек, разложим потенциал ф для заданного значения у в окрестности стационарной точки хо, т.е. Уф(хо, у) = 0. Выберем систему координат т.о., что Xq = 0, и матрица Якоби диагональна в окрестности ж о- Тогда, рассматривая первые (вплоть до второго порядка по величине ж) члены разложения в ряд Маклорена потенциала, получим
где индексы функции ф означают частные производные, взятые в начале координат жо = 0. Если величины фц, ф22 обе положительны (отрицательны), тогда точка ж о - минимум (максимум) функции ф-Тогда для малых значений |ж| векторное поле определяется соотношениями
Для вычисления индекса стационарных точек выберем достаточно малый (чтобы исключить другие стационарные точки, и чтобы выполнялось локальное выражение потенциала (3.44)) эллипс с. Пусть
Ф(я, у) = Фо + + т;Фюх1>
1
1
(3.44)
(3.45)
(3.46) ? 4 Две обшиє теоремы
101
«і, (-і > Тогда в точке с(і?) угол <p векторного поля X задается
^отношением
, 0 Ф22Є2 sin I? arctg і? =-. (3.47)
Ф ц?1 COSW
?сли стационарная точка есть минимум {фп,ф22 > 0), выберем ei = еф 22,
f2 = ефи¦ Если стационарная точка есть максимум (фц,ф22 < 0), выберем fi = ~(Ф22,^2 = ~еФіі- Если стационарная точка есть седловая точка, то без потери общности можно считать, что (^ц > 0, ф22 < 0), и возьмем ?i = -?(/>22, ?2 = е</>11- Тогда в экстремуме из формулы (3.47) получаем, что <р = і?, а для седловой точки имеем <р = —і). Поскольку по определению индекса особой точки имеем
(3.48)
то получаем, что индекс экстремума равен +1, а индекс седловой точки равен —1. Т.о., приведено явное доказательство для данного случая утверждения, что для простой особой точки индекс лишь седловой точки равен —1, во всех остальных случаях индекс равен +1.
Докажем теорему 1. Поскольку по определению функция ф(х,у) неотрицательна, то она имеет глобальный минимум. Этому минимуму соответствует изображение типа I.
Докажем утверждение б). Для фиксированного значения у уравнение линзы имеет вид у = X — а(ж), и из ограниченности угла отклонения |а| < а следует, что изображения х источника у лежат в круге 5 = {ж : |ж| < Ij/I + а}. Поскольку по предположению мы рассматриваем лишь обыкновенные изображения, то они изолированы. Ранее были выделены окрестности особых точек. Рассмотрим Также окрестности всех точек круга S, не входящих в окрестности особых точек. Т.о., получаем покрытие круга S. Поэтому по теореме Гейне-Лебега-Бореля о конечном покрытии из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие (см., например, Рудин (1976)). Отсюда следует, что п < оо.
Докажем утверждение в). Предположим, что п изображений источника у находятся в диске с радиусом R < |у| + а. Если ра-Диус окружности |ж| = R достаточно большой, то векторное поле Х = х — у — а(х) практически радиально на этой окружности, поскольку величина |а| ограничена. Тогда, применяя цитированную Ранее теорему Пуанкаре об индексе (Коддингтон и Левинсон (1958)), Получим в) Ti1 + щи - пи = 1. 102 Глава 3. Основные понятия и CBoiict,
Докажем утверждение г). Заметим, что при достаточно больщЙ!( значениях |ж|, А —>• 2, откуда следует, что det Л и tr Л положительны вне круга достаточно большого радиуса. Поэтому для достаточно большого значения |ж| уравнение гравитационной линзы имеет лицц, одно решение типа I. Из уравнения гравитационной линзы следует что \хJ > \у\ - |а(ж)| > \у\ - а. Тогда, если \у\ > a + R, |ж| > д то изображения источников, находящихся вне рассмотренного круга являются изображениями типа I, т.е. n/ = пц = 0, n/ = 1.
Теорема 2. Если выполнены предположения теоремы 1, то изображение источника, которое наблюдатель видит первым, является изображением типа I, и это изображение ярче (точнее говоря, не более тускло), чем изображение источника, которое бы наблюдатель видел в отсутствии гравитационной линзы.
Доказательство теоремы 2 довольно кратко. В соответствии с доказательством теоремы 1 а) имеется изображение, которое наблюдатель видит первым, и это изображение является изображением типа I, поэтому , исходя из определения типа I (3.20), получаем ц > 1. Тем не менее, условие 1 крайне маловероятно, т.к. в этом случае к = 7 = 0 в минимуме функции ф, тем самым, условие A-X является весьма редким для симметричной 2x2- матрицы, зависящей от трех чисел.
