Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
4.3. Уравнение линзы вблизи сборки Выражение для потенциала Ферма вблизи сборки
Следует напомнить, что второй тип критических изображений характеризуется следующими условиями:
D(Q) = 0, tr = О, VD^ О, R (ж/2) VD^ = 0. (4.39)
Особая точка, удовлетворяющая условиям (4.39), называется сборкой. Эта особенность в англоязычной литературе по гравитацион-ным линзам называется "клюв" ("cusp"), в литературе по теории ка-т^троф - сборка ("pleat"). Последнее условие означает, что в точке ж (с которой, как мы предполагаем, совпадает начало координат) Касательный вектор к критической кривой, проходящей через точку, Лежит в ядре матрицы Якоби, т.е. касательный вектор является соб-Ственным вектором, соответствующим нулевому собственному значению. В случае, если выполнены условия (4.39), введем координаты 112 Глава 4. Уравнение линзы и усиление вблизи особых To4
------Slej
т.о., что для потенциала Ферма выполнены следующие соотношу^
ФІ°> = фР = Ф&> = Ф® = Ф&, = 0, Ф&* О, Ф&ФО. (4.40)
Тогда разложение Маклорена потенциала Ферма ф в окрестности ки a:(°), имеет вид
Toxt,
ф =ф(0)+1_у2_х.у+1_ф(0)х2 + іф(0)А +
111 + 2^112*1*2 + + 2^2222*2 + «1 ft + Я5 = 0. (4.41)
В этом случае отображение, определяемое гравитационной линзой может быть записано в виде
2/1 = Ф^хг + ф^х2 + ф^х 1Х2 + \ф^х2 + P3+R4,
21
У2 = Ui^2X2I + <22*1*2 + T 02222^2 + XlP2 + R4- (4.42)
Как и было проделано для особенности типа складки, можно рассмотреть "укороченное" отображение гравитационной линзы в окрестности особой точки
2/1 = CX1 - ^bxl + dxix2, 2/2 = )^dx\ - XiX2 - xf,
где a = -^2222. b = -</>122. C = d = ^112' Критическая кривая и каустическая кривая
Из уравнения гравитационной линзы (4.43) получаем выражение для матрицы Якоби
A= ( f+d? f1'*?2*)- (4.43)
у dxi — bx2 —oxi— oax2 J
Тогда определитель матрицы Якоби равен
D = —bcxi - (3ac + b2)xl - d(dx\ - Ьхгх2 + 3ах%). (4.44)
Аналогично предыдущему можно рассмотреть "укороченное" выражение для определителя, а именно,
D = —Ьсх\ - (3ас + Ь2)х%. (4.45)
Отсюда получаем выражение для описания критической кривой
Зас+ 62 , /л л<к\
X1 =--^—X2. (4.46) ^ j Уравнение линзы вблизи сборки 113
-Jorfla 0^Pa3 критической кривой из соотношений (4.43) и (4.46) имеет в0д при X2 -f о
j/i = -^(2^ + 62)*2, y2=^(2ac + b2)x32. (4.47)
рели 2ас + б2 ф 0, то каустическая кривая есть полукубическая парабола
, 27с2(2ас + 62) 2 „ _
»? =---'-УІ (4-48)
Кратные изображения вблизи особенности типа сборки
Уравнения (4.47) могут быть записаны в виде
,,-.Ё + Ь з 2ЬУ1 2 су2 _
Второе из уравнений (4.49) является приведенным уравнением третьей степени относительно х2. Количество решений этого уравнений зависит от знака дискриминанта Д
Д= ' 1
(2ас + 62)2
єУ + 1 Pf1 С % + 27 2ас + 62
(4.50)
а именно, если Д > 0, то второе из уравнений (4.49) имеет одно действительное решение, если Д < 0, то три действительных решения, если Д = 0, то это уравнение имеет один корень кратности два и один корень кратности единица. Т.о., при Д —> 0 два (из трех решений этого уравнения) сливаются и исчезают. Нетрудно заметить, что условие Д = 0 эквивалентно условию, что точка находится на каустике, и, т.о., каустика делит плоскость на две части, причем внутри каустической кривой уравнение гравитационной линзы имеет три решения, а вне - одно.
Рассмотрим частный случай решения уравнения линзы для источника, лежащего на оси симметрии сборки у2 = 0, поскольку в общем случае решение уравнения линзы имеет достаточно громоздкое выражение, которое, впрочем, будет приведено ниже. Итак, при у2 = О Решение уравнения линзы имеет вид
Последние два решения действительны тогда и только тогда, когда Сражение, стоящее под знаком квадратного корня, положительно, 8-2441 114 Глава 4. Уравнение линзы и усиление вблизи особых Tot1^
т.е. источник находится внутри сборки. Тогда для коэффициент^ усиления этих изображений имеем выражения
^1) = -Ifby1, н(2,3) = -1/262/ь (4.52)
т.е. изображение ж'1' имеет четность, противоположную ЧЄТНОСТй изображений ж'2,3). В случае, если точка у1 приближается к сборке изнутри, то все три изображения приближаются к точке ж = 0 т.о. ЧТО изображение ж'1) движется ПО ЛИНИИ, перпендикулярной К Kpt1. тической кривой, а изображения ж'2,3) приближаются к критической кривой тангенциально. При 2/1=0 все три изображения сливаются, и их коэффициент усиления становится (формально) бесконечным. Вне сборки имеется лишь одно изображение (с большим коэффициентом усиления вблизи сборки), в отличие от складки, когда изображения с большим коэффициентом усиления появляются парами. 4.3.1. Усиление изображений вблизи сборки Основные соотношения
Вновь напомним, что уравнение гравитационной линзы вблизи особенности типа сборки имеет вид
2/1 = cxi + ^x22, y2 = bxix2 + ax23, (4.53)
где a = \ф2222,Ь = (/>12, с = фи с ф 0, 6 ф 0,2ас — б2 ф 0. Как было показано ранее, дополнительные члены не влияют на локальные свойства отображения. В этом можно убедиться, используя процедуру "укорочения", описанную в книге Брюно (1979). Аналогично
