Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
(4.77)
= -|-|62-2ac|, tr А = с, |Vdet А| = |6с|. (4.78)
I6I
Рассмотрим произвольную параметризацию критической кривой. Предположим, что A(i/) - строго монотонная функция. Отсюда получаем, что
LUL 7
dv I dv
cusp
dv dX
A = Q
щ|62 — 2ac|.
(4.79)
Из соотношения (4.73) следует, что |rfA| = dl при A = O, где dl - длина критической кривой, соответствующей изменению прицельного параметра dX, откуда получаем \du/dX\ = \dv/dl\. Тогда для коэффициента Сс(,) имеем выражение
CW = ^
15
du dl
|tr А\
|VdetA|3
L (aL,)
di> \ du J
(4.80)
которое справедливо при любой параметризации критической кривой. ^ j Уравнение линзы вблизи сборки 119
0-) асимптотическое поведение сечения усиления для ЛИНЗЫ общего вида имеет вид
= Cpfi;2 + Сс/^5/2, (4.81)
где Cf коэффициент, вычисленный ранее для особенностей типа складки, Cc - коэффициент для особенностей типа сборки (4.68). утверждение о коэффициенте усиления изображения вблизи особенности типа сборки
Аналогично Шнайдеру и Вайссу (1992), введем обозначения
? = (deti)-1, ? = Ь2ц, detA = b2 • deti = 62[ж! + (3s - l)x2]. (4.82)
Рассмотрим усиление различных изображений точки, находящейся внутри сборки. Для источников, находящихся внутри сборки, выполняется следующее равенство:
д(1) + д(2) + Д(3) _ о_ (4.83)
Ясно, что из равенства (4.83) следует равенство, доказанное Шнайдером и Вайссом (1992):
!?(!)1 = 1/1(2) + /1(3)!. (4.84)
Можно получить следующее выражение для коэффициента усиления:
^') = 1/(^ + (3^-1)(40)2) (4.85)
или, используя выражение для координаты ж і в плоскости линзы через координаты изображения,
^') = 2/(5^-(4'))2]). Т.о., для доказательства (4.83) необходимо показать, что
т - (4°)2 + т - (4°)2 + vi - (4°)2 ~ (4'87)
Т.е.
3^-20^(4^ + (4^ + (4^)2] +
+ [(4^42))2 + (4^43))2 + (42)43))2] = о. (4.88) 120 Глава 4. Уравнение линзы и усиление вблизи особых той
-—
Используя теорему Виета, получим
+ 42> + 4з> = о,
хРхЫ
Если выразим симметрические степенные многочлены через симметрические элементарные многочлены, то имеем
(Х^Г + (X^f + (X^f = 6 УЬ
+ (a?^^)8 + = »й-Т.о., равенство (4.83) доказано.
Коэффициент усиления изображений вблизи сборки
Аналогично предыдущему, получаем
^=^)^^)=2/((3 sm-ш
(4.89)
(4.90)
(4.91)
= ^>?(2> + ?(1)?(3) + А(2)А(3) = -Зу1/((35)2(у? - у2))- (4.92)
Следовательно, имеется уравнение третьей степени для усиления различных изображений точки, находящейся внутри сборки:
?3 +Pi?+ <7i = О,
(4.93)
где ? = ?/S,pi = Pi(3S)2,gi = gi(3S)3. Аналогично.получаем выражения для корней уравнения (4.93) для точки, находящейся внутри сборки (Кострикин (1977)):
?^ = --.
зУй-й
Vi J -1 — cos < cos
Й
/3
(4.94)
?W = -
зУй-й
2/1 J -і
--ZK cos < cos
/й - й й
/З + 2тг/3 ^ , (4.95)
й(3> = -
зУй -й
2/1 J -і
-cos < cos
/й - Й
Й
/З + 4ТГ/3
и для точки, находящейся вне сборки (Кострикин (1977)),
?^ =
y/ft-ft + h+Uy/ft-ft-ih Л/Й~Й- (4-97)
(4.96) Даграджевы отображения и особенности
121
4-і
0,06
т—і—і-1—і—і—і—і—j—і—і і Г
-0,02
-0,04
0,04
0,02
0,00
-0,06
0,05
0,00
0,05
0,10
Рис. 4.1. Линии уровня коэффициента усиления гравитационной линзы вблизи особенности типа сборки. Линии уровня принимают значения IOx 2і, Vi € [-1,14], і € Z.
Обсуждение. На рис. 4.1 показано распределение линий уровня коэффициента усиления в окрестности особенности типа сборки. Данный рисунок можно сравнить с рисунком из работы Шнайдера и Вайсса (1992), полученным с помощью численного метода стрельбы световыми лучами. Нетрудно заметить, что особенность типа сборки исчезает в результате численного моделирования, т.е. дискретизация "регуляризирует" рассматриваемую особенность.
4.4. Лагранжевы отображения и особенности 4.4.1. Лагранжевы отображения
Введем следующее Определение 1. Говорят, что задана симплекти-ческая структура на многообразии M2", если на этом многообразии имеется замкнутая невырожденная 2-формаы2, т.е. du>2 = 0 (2-форма замкнута), V? ф 0 3?7 : w2(?, г}) ф 0 (2-форма невырождена). Сим-Плектическим многообразием называется пара (М2п,и>2).
Определение 2. Лагранжевым многообразием называется подмногообразие симплектического многообразия, на котором симплекти-ческая структура обращается в нуль и которое имеет наибольшую в°зможную размерность, равную половине размерности симплектического пространства.
Напомним понятие расслоения.
Определение 3 (расслоения). Расслоением называется непрерыв-н°е сюръективное (т.е. отображение на) тг : X —? В. Следует разде- 122 Глава 4. Уравнение линзы и усиление вблизи особых Totleif
лять расслоение как отображение и как объект (X, тг, В). При X называется пространством расслоения, В - базой расслоения, ^ ^ проекцией расслоения, - слоем над 6 Є В.
Пространство X может быть как топологическим пространство^, так и гладким многообразием. Будем считать ниже, что X - гладк0е многообразие.
