Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
Перейдем от безразмерных величин в выражении для коэффициента усиления к физическим. Выберем характерный масштаб длины т.о., что ?о = Dd- Векторы ж и у характеризуют углы на небесной сфере. Тогда угол между изображениями Sd = 2|Дх2|. Исключая величину Дг/2 из выражения для коэффициента усиления, получим
М=у(\ФІ°М т- (4-21)
Т.о., коэффициент усиления обратно пропорционален углу между изображениями. Используя выражение для времени задержки через потенциал Ферма, получим, что временная задержка между двумя близкими изображениями х\ и равна
Исключая из соотношений (4.21) и (4.22) величину (/>222, имеем
Поскольку имеется следующее выражение для второй производной потенциала Ферма = |tr А\ = 2|1 — fe|, получим
м = r{zd)r(zs) r(zd,z,)
где h50 = Hq/Hzq - безразмерная величина постоянной Хаббла, Hq ' значение постоянной Хаббла, #50 = 50 км-с-1 -Мпк-1 - нормировочная постоянная. Из данных наблюдений следует, что 1 < Л50 < 2. ^ Пгпбенности типа, складки
109
Получим координатно-независимое выражение для коэффициента „ления. Действительно, поскольку
(VdetA)'0' = -tr Al ФЩ ) (4.25)
V Ф222 J
0 градиент определителя матрицы Якоби перпендикулярен критической кривой, то направление касательной к кривой определяется вектором R(ir/2)VA. Заметим, что
"(-!MiKS Л> <«6>
Тогда
[R(-n/2)AR(w/2)V(detA)]-y = -(tx А)2ф<$2У2, (4.27)
где считается, что Ay2 л* у2. Поскольку левая часть соотношения (4.27) координатно-независима, то и правая часть этого уравнения также координатно-независима. Тогда получаем координатно-неза-висимое выражение для коэффициента усиления
Ipl = {2[R(-*/2)AR(*/2)V(detA)]-y}~1/2. (4.28)
Сечение усиления вблизи особенности типа складки
Сечением усиления называется величина площади <т(ро), которой соответствует коэффициент усиления р > ро- Для оценки асимптотического поведения сечения усиления вблизи особенности типа складки Рассмотрим критическую кривую в плоскости линзы жс(А). Рассмотрим точку ж вблизи этой кривой с коэффициентом усиления ^ > 0 на расстоянии z от ближайшей точки каустической кривой. Поскольку определитель матрицы Якоби равен нулю на критической кРивой, то градиент приблизительно перпендикулярен этой кривой и (det А(жс) Ri IVdeM(SBc)I*), и
р яа l/(|Vdet А(жс)|г). (4.29)
й сторо
гДе усиление больше, чем fl,
Тогда площадь с той стороны от замкнутых критических кривых
, * і -м dl 1 -°
M/0 « f = 7
(4.30) 110
Глава 4. Уравнение линзы и усиление вблизи особых Toti
(интегрирование проводится по всем критическим кривым в ПЛОс^ сти линзы). Т.о., площадь с той стороны критической кривой, ГД; коэффициент усиления принимает значения от /і до /і + dfi, равна
dax(n)
dfi
dfi = —7; dfi.
P2
Эта площадь отображается на площадь
ax(fi)
dfi
(4.3Ц
dfi в плоскости линзы
где Hp = 2 ft, dfip = 2dfi, поскольку каждая точка источника имеет дв4 изображения с одинаковым (по модулю) коэффициентом усиления Тогда
d<r{fiP)
dfip
dfip = -
dax(H)
dfi
dfi = dfip.
(4.32)
Площадь области в плоскости источника, где коэффициент усиления больше, чем ftp, равна
*{fip) = IC/fil
(4.33)
Усиление протяженных источников вблизи особенности типа складки
Для коэффициента усиления протяженных объектов с поверхностной яркостью 1(у) имеем следующее определение:
_ fd?I(y)fip(y) Jd2Iiy) '
(4.34)
где fip(vj ~ усиление точечного источника, находящегося в точке, характеризуемой вектором у.
Рассмотрим источник, находящийся вблизи особенности типа складки, и пусть радиус кривизны каустики много больше размера источника. Каустика описывается прямой yi = ус, и пусть положительное направление задается соотношением у\ > ус. Тогда для коэффициента усиления имеем выражение
Pp (У) =
(2/1 - Ус)
НІУ-L - Ус)+Hо,
(4.35)
где H - функция Хевисайда или единичная ступенька (#(я) = 1 пр" X > 0 и Hix) = 0 при X < 0, Владимиров (1979)), д - некоторая константа, которая в каждом конкретном случае может быть определен9 ^ j Уравнение линзы вблизи сборки
111
теНциалу Ферма, - коэффициент усиления изображений, кото-Я° находятся не вблизи каустики (предполагается, что он слабо за-Pbl^ оТ переменной у и, тем самым, предполагается равным нулю), rt пположим, что профиль поверхностной яркости источника обла-т круговой симметрией, причем центр источника характеризуется начением у = 0, так что величина ус характеризует расстояние центра источника от каустики. Если использовать для поверхностной яркости величину
I(V) = Iof (У/Я), (4.36)
где у = у, а Л характеризует радиус источника, то из выражений (4.34) и (4.36) получаем
Ve(Vc) = У/ЩС (Ус/R) + Но, (4-37)
где функция
Г^Г^Л^ТР)
C(W) =-VS yL00 --(4.38)
KJo sf(s)ds
зависит лишь от распределения яркости, но не от размера источника. Из формулы (4.37) следует, что коэффициент усиления вблизи критической кривой факторизуется, а именно, если имеется фиксированное расстояние центра источника от каустики в единицах радиуса источника R, то усиление зависит от размера источника R.
