Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
ali(*) = g(®), 200(^)0-1(^) + 0.^^) = 0,.... (5.7 Отсюда находим
«-.(*) = ±v®, «О (*) = -ЗМ.„. (5.8 j Предварительные сведения 125 ______—^—,—_
^ 0 i можно последовательно найти ai(x), а2(х),... . Подставляя в соотношение (5.3), имеем
S(.) = ±? уЩ*, ехр [- ? l&dt] =
и получаем (с точностью до 0(fc-1)) два приближенных решения
yh2(x)»q-1/*(x)exp^±k J у^л] (fc-^+oo). (5.9)
Описанный вкратце метод поиска асимптотических решений уравнения (5.1) (а также подобный подход к поиску асимптотических решений уравнений с частными производными) называется методом фазового интеграла, квазиклассическим приближением, приближением Лиувилля-Грина или ВКБ-методом (методом Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна, который был рассмотрен этими авторами для поиска приближенных решений уравнения Шредингера).
5.1.2. Оптика в искривленном пространстве-времени Вакуумные уравнения Максвелла
Электромагнитное поле будем описывать с помощью действительного ко-сосимметричного тензорного ПОЛЯ Fa,? = Ff3,а, Xа = (х°,х'). Напомним связь этого тензора с электрическим и магнитным полем. Пусть (ха) -ортонормированная система координат в некоторой точке Р, и обозначим через Ea и Ba декартовы координаты векторов E и В в точке Р, измеряемой наблюдателем, для которого (ха) - локальная система покоя. Тогда в точке P имеем
F0a = Ea, Fab=-Bc, (5.10)
гДе (а,Ь, с) образуют циклическую перестановку индексов (1,2,3). Тогда Уравнения Максвелла в области, где нет материи и которая описывается метрикой ga?, имеют вид
F\<*?\ У] =I (F°0n + F0r,a + = 0, Fa?.? = 0, (5.11)
где означает взятие ковариантной производной, [...] - альтернирование по совокупности индексов, находящихся в квадратных скобках. Приближение локально плоских волн
Ясно, что уравнения Максвелла могут быть решены точно только в ограниченном наборе случаев, предполагающих наличие какой-либо симметрии. ieM не менее, во многих случаях распространения электромагнитных волн 8 теории гравитационных линз предполагается, что электромагнитная вол-йа плоская и монохроматичная на масштабе большем, чем характерная fllUtHa волны, но меньшем, чем кривизна пространства. Такие локально 126 Глава 5. Волновая оптика гравитационных J1lljl
плоские волны, являющиеся приближенными решениями уравнений Макс велла, могут быть представлены в виде
Fa? ~ Пе |е< s (Aa? + €^Ba?) + 0(е2)} , (5.12)
где S - скалярное векторное поле, Aa? и Ba? - кососимметричные КОщ. плексные тензорные поля. Предполагается, что S, Aafз, Ba? не зависят от малого параметра е. Считается также, что значение е настолько мало что фаза е-1 S меняется значительно быстрее по сравнению с величиной Aa? + TBa?. Введем НОВЫе Переменные S' = t~lS, B'a? = tBa?, тогда
I '
опуская знак ' у этих переменных, будем считать, что є = 1.
Предположим, что наблюдатель, собственное время которого т, характеризуется мировой линией Xa(T) и 4-скоростью ua = dxa/dT, тогда круговая частота ш волны (5.12) с е = 1 определяется как
ш = ~ = -Staua = kaua, (5.13)
ат
где вектор ka = -Sl0 называется волновым. Подставим асимптотические разложения (5.12) в уравнения Максвелла. Приравнивая коэффициенты, стоящие при членах е-1 и е°, получим при степени б-1
A[a?k^= 0, (5,14)
Aa?k? = 0, (5.15)
при степени е°
A[a?n] = B[a?k^, Aa?.,? = Bc?k?. (5.16)
Умножая соотношение (5.14) на ку и используя соотношение (5.15), получим
Aa?k^ki = 0. (5.17)
Поскольку Aa?, вообще говоря, обращается в нуль только на гиперплоскостях, то получаем
кака = О, (5.18)
т.е. волновой вектор / = — д - нулевой (времениподобный) векторі
и фаза должна удовлетворять уравнению эйконала
ga?S,aS,?= 0. (5.19)
Т.о., гиперповерхности постоянной фазы (или волновые фронты) касатель-ны локальному световому конусу. § I. Предварительные сведения 127
уловные предположения
рассмотрим распространение электромагнитного поля Fa/з во вселенной Фрядмана-Леметра, возмущенной массой гравитационной линзы, йзвест-^0 что все пространственно-временные многообразия Робертсона-Уокера ЯВЛЯЮТСЯ ЛОКаЛЬНО конформно плоскими, поэтому запишем метрику в виде
ds2 = Vjr2Js2 = Ф2 j (l + H ) C2CiT2 - (l - <*Х2} , (5.20)
где конформный фактор Ф2 зависит от индекса кривизны фонового пространства Фридмана-Леметра и от координат Т, X, которые практически ортогональны, за исключением близкой окрестности линзы, где гравитационный потенциал существенно отличен от нуля.
Поскольку уравнения Максвелла конформно инвариантны, то можно
- 2
работать со статической метрикой ds . Обозначим через E плоскость линзы в X пространстве, E' - плоскость линзы между положением наблюдателя О и Е, параллельную плоскости Е. Предположим, что плоскость E' выбрана т.о, что a) E' близка к плоскости E в том смысле, что (евклидовы) расстояния d и d' от наблюдателя до плоскостей E и E' соответственно, удовлетворяют условию d — d' <С d\ б) между Ej и источником нет каустик;
в) между E' и наблюдателем O гравитационный потенциал U пренебрежи-
- 2
мо мал, так что в этой области метрика ds может считаться плоской.
