Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку МЫ считаем, ЧТО имеет место предположение б), TO поле Fa? может быть определено с использованием приближения геометрической оптики. Для определения поля в точке нахождения наблюдателя используем подход Френеля-Кирхгофа (Борн и Вольф (1973)), а именно, дифракционную формулу Френеля-Кирхгофа. Эту теорию можно использовать, поскольку сделано предположение в), и, тем самым, уравнения Максвелла сводятся к волновому уравнению OFa^ = 0.
Поскольку метрика ds2 - статическая, то сделаем преобразование Фурье действительного ПОЛЯ Fa? относительно "времени" T
/оо
Fa?(X, П)е-пг<іП. (5.21)
-OO
Рассмотрим монохроматическую волну, частота которой П, т.е.
Fa?(X, О) = Fafi(X) ехр(-гПГ), (5.22)
и пространственная часть волны Fafi(X) удовлетворяет уравнению Гель-мгольца
AFa?(X) + (^У Fafi(X) = 0.
(5.23) 128 Глава 5. Волновая оптика гравитационных J1lljl
Тогда электромагнитное поле в точке О (где находится наблюдатель) Мо жет быть определено с помощью выражения интегральной теоремы Tenb мгольца-Кирхгофа (Борн и Вольф (1973))
F 9 Fa0aп
/ ҐІШ'\\ (ІШ'
Pvn і - I exp I -
exp .
\ c
V У
\ C ) д ~
fat
dn
В последнем соотношении координаты на плоскости E' обозначаем вектор п обозначает вектор нормали к плоскости E', направленный к наблюдателю О, и d'(C) - расстояние от наблюдателя до текущей точки на плоскости E', называемой экраном в теории дифракции.
Т.о., теория дифракции в теории гравитационных линз фактически воспроизводит стандартную теорию дифракции (Борн и Вольф (1973)). Это оказалось возможным, поскольку имеют место следующие обстоятельства: 1) уравнения Максвелла конформно инвариантны; 2) метрика Робертсона-Уокера является конформно плоской; 3) действие гравитационной линзы на электромагнитное поле оказывается существенным образом ограничено малой (относительно космологических масштабов) областью.
Рассмотрим следующее выражение для фазы S = — ?IT+S(X, П), тогда "пространственная" часть фазы удовлетворяет уравнению эйконала
(VS)2 = (пП/с)2 , (5.24)
где п - индекс рефракции, обусловленный влиянием поля линзы,
c1 ci
где dl = |сіж| - евклидова длина дуги, е = dx/dl - единичный касательный вектор к лучу. Тогда изменение величины S вдоль траектории луча О ,
определяется величиной — J ndl. В этом случае эта величина может быть определена через потенциал Ферма
§((', ч) = " (#?,4) - <*'(0) + Ct(V), (5.25)
где ? и Tj обозначают положение вектора в плоскости линзы и источника соответственно, a - $ - независимая часть фазы.
Определим вектор комплексной амплитуды. Для этого умножим первое из соотношений (5.14) на вектор Py, удовлетворяющий соотношению Ifc7P7 = 1, и положим Aa = Pf3A?a, и, учитывая выражение для Aa? через вектор комплексной амплитуды и волновой вектор, получим
Aa0 = 2k[aA0h Аака = 0. (5.26)
Тогда имеет место соотношение
А,(?') = е"аСа(ЩП25),
(5.27) W
§ I. Предварительные сведения 129
где S - расстояние от источника S до I, вектор Ca (?) характеризует про-десс излучения в' направлении, характеризуемом вектором Множитель Q2e"'a введен для удобства.
Объединяя выражения для фазы и амплитуды, получим выражение для п0ля на E'
= (0(0(0 - d')exp(,"). (5.28)
Подставляя это выражение в интегральную формулу Гельмгольца-Ки-рхгофа и пренебрегая производными медленно изменяющихся функций сравнительно с производными быстро меняющихся функций, получим
= їЬ L ^'k-^(cose+COse')eMfm, (5.29)
где в - угол между направлением луча от источника S к текущей точке в плоскости линзы / и оптической осью, в' - угол между направлением пуча от текущей точки I в плоскости линзы к наблюдателю О и оптической осью, множитель ехр(*^ <А(0) характеризует запаздывание волн,
я с
приходящих к наблюдателю О. В соответствии с методом стационарной фазы (поскольку фазовый множитель осциллирует очень быстро), вклад в интеграл вносят только значения близкие к величинам, определяемым
из соотношений геометрической оптики, где — ф = 0 и б, в' < 1. Тогда
в силу близости плоскостей E и E' имеем ? = 0- При этих упрощениях имеем
(5-3°)
где величины ка, S, d, Ca в формуле (5.30) относятся к оптической оси. Формула (5.30) является тензорной версией дифракционного интеграла Френеля-Кирхгофа.
Получим соотношение частоты плоского пространства П с физической частотой ш, измеряемой наблюдателем. Если Ф(О) - величина конформного фактора для метрики Робертсона-Уокера для события наблюдения Ot тогда О = Ф(0)ш. Заменяя в интеграле Френеля-Кирхгофа "Т-временной" потенциал Ферма на "физический" потенциал Ферма, вспоминая, что
L OJ
Ка =--па, и вводя вновь переменные ш и rj, соответствующие протяжен-
C
ному источнику, и пренебрегая малыми вариациями па и зависимостью Ca °Т получим
Fa0(O,u) = 2Anla [ C0](u,r,)V(u>,r])d2r,,
J source
V(ojtt))-.= f exp(—j>(t,ri))d2ri. (5.31)
J R2 с
9~'
2441 130
Глава 5. Волновая оптика гравитационных J1lljl
Комплексная константа А зависит от положения плоскости источника плоскости линзы и плоскости наблюдателя, но не зависит от w, tj и свойств линзы. В ортонормированной системе координат, соответствуй щей наблюдателю, имеем na = (1, е), где е - пространственный единичную вектор, направленный к источнику. Комплексный вектор Ca характери, зует процесс излучения и может быть выбран ортогональным вектору е т.е. Ca = (О, С), С • е = 0. Тогда комплексная функция V(w, tj ) описывает влияние массы гравитационной линзы на электромагнитное поле. Эта функция называется передаточным множителем гравитационной линзы.
