Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Захаров А.Ф. -> "Гравитационные линзы и микролинзы " -> 37

Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.

Захаров А.Ф. Гравитационные линзы и микролинзы — M.: Янус-К, 1997. — 328 c.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка): gravitacionnielinzi1997.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 127 >> Следующая


Из приведенной интерпретации потенциала Ферма следует, Чт уравнение линзы может быть записано в виде (3.11). Это соотноіц,._ ниє, по существу, является формулировкой принципа Ферма в теорй1) гравитационных линз: из всех возможных траекторий лучей "физи. ческие" лучи соответствуют тем траекториям, ДЛЯ которых Bped1J, необходимое для того, чтобы лучи от источника достигли наблюда' теля, является стационарным.

В некоторых случаях удобно выбрать масштаб в плоскости линзц т.о., что ?о = Dd, тогда величины х = 9 и у = ? определяют угловое положение изображения и источника соответственно

cAt(?) = д + zdme^\?) - 3)]. (3.42)

3.3. Теорема о нечетности числа изображений

Докажем следующую теорему: Если распределение массы прозрачной гравитационной линзы таково, что угол отклонения (грубо говоря, пропорциональный га/г) ограничен при г —> оо, то прозрачная гравитационная линза имеет нечетное число изображений.

Действительно, рассмотрим наблюдателя и гравитационную линзу, находящуюся на оптической оси. Тогда каждое значение прицельного параметра в плоскости линзы можно охарактеризовать парой чисел (и, г;). Угол отклонения луча света (т.е. угол между прямой, соединяющей источник и плоскость линзы, и прямой, соединяющей эту точку в плоскости линзы и наблюдателя) характеризуется, например, парой значений косинусов (s, w). Под прозрачностью линзы понимается то, что каждый луч, достигающий плоскости линзы, попадает на плоскость наблюдателя. Т.о., исключаются непрозрачные звезды и черные дыры. Итак, действие линзы для заданного значения прицельного параметра характеризуется парой косинусов (s,w). Эти косинусы образуют векторное поле на плоскости (u,v)-Второе векторное поле образуется следующим образом: для заданного значения прицельного параметра (и, v) это такая пара косинусов (si,u>i), что луч от источника искривляется так, что достигает наблюдателя. Вычтем одно векторное поле из другого и получим (s2,w2) — (si, it»i) — (s,w). Там, где имеются нули векторного поля (s2, W2), имеются изображения источника. Поскольку при больших значениях прицельного параметра угол отклонения предполагался ограниченным, то основной вклад в векторное поле (S2tW2) вносит векторное поле («і, iui). Для больших значений прицельного параметра это -векторное поле направлено практически радиально. Напомним, что индексом векторного поля вдоль замкнутой кривой J (не ?4 Дяеобш^е теоремы_99

ходящей через особые точки) называется полное изменение угла, "Дленное на 2тг, образуемого векторным полем после обхода кривой J Д положительном направлении. Угол векторного поля отсчитывается В некоторого фиксированного направления. Т.о., индекс векторного доля для области, ограниченной окружностью достаточно большого пялиУса> Равен +1- Согласно теореме Пуанкаре-Бендиксона индекс векторного поля области равен сумме индексов особых точек (см. например, Коддингтон и Левинсон (1958), Хартман (1970)). Напомним определение простой особой точки (см. например, Коддингтон и Левинсон (1958)). Без ограничения общности будем считать, что особая точка имеет координаты (0,0). Пусть в окрестности точки (0,0) векторное поле может быть записано в виде

S2 = Cis2 + bw2 + gi{s2,w2), w2 = cs2 + dw2 + g2(s2,w2), (3.43)

где функции Qi ,і = 1,2 непрерывны в круге г = \/s\ + W2 < 7 (для некоторого 7), gi{r) - o(r),i = 1,2. Тогда особая точка называется простой, если ad — be ф 0. Индекс системы (3.43) легко вычисляется и зависит только от линейных членов в системе (Коддингтон и Левинсон (1958)). Тогда индекс для седла равен -1, во всех остальных случаях равен +1 (Коддингтон и Левинсон (1958)). Поскольку сумма индексов векторного поля должна быть равна +1, то, считая, что изображению соответствуют простые особые точки (ясно, что в случае общего положения имеются лишь простые особые точки), получаем, что может быть только нечетное число изображений, причем число прямых изображений (индекс которых равен +1) на единицу больше числа обратных изображений (индекс которых равен —1, и им соответствует седловая особая точка).

3.4. Две общие теоремы

Рассмотрим, каким образом потенциал Ферма можно использовать Для доказательства двух теорем о гравитационных линзах. Предположим, что имеется одиночная геометрически тонкая гравитационная линза, которая характеризуется гладкой поверхностной массовой плотностью к(х), убывающей быстрее, чем |ж|2 при х —у оо. Т.о., линза имеет конечную общую массу, угол отклонения а(ж) непреры-Вен, стремится к нулю при |х| —> оо. Поэтому угол а ограничен, т.е. существует такое значение а Є R+, что |а| < а. Ясно, что звезды и черные дыры исключаются из рассмотрения при данных предположениях. Обозначим количество обыкновенных изображений типа I Источника, характеризуемого вектором у, через п/. Аналогично чц и nIii будут обозначать количество изображений типа II и III соответственно. 100

Глава 3. Основные понятия и CBoiict,

Теорема 1. Если имеют место приведенные выше предполо)ке ния, и если положение источника не находится на каустической Iltk верхности, то
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 127 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed