Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
крцта координатной системой Xa такой, что а) а;0 - направленный в Идущее времениподобный вектор, б) времениподобная кривая I задается
условиями Xх = С = const (і = 1, 2,3).
рассмотрим следующее семейство функций:
rj'(v,e) = rf(v) + tSrj'(v), 1 = 1,2,3 (2.183)
л определим rj°(v,t) как решение дифференциального уравнения
<Mr?',r?0)»?V = ° (2.184)
с начальным значением rj°(0, е) = .T0(S). Подставляя rf из соотношения (2.183) в уравнение (2.184), получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка rf = F(rf, v, е). Разрешимость уравнения (2.40) относительно rj° и гладкость F следует из предположений а) и б). Нетрудно заметить, что функции rja(v,t), построенные рассмотренным образом, определяют гладкое семейство нулевых кривых 7(б), содержащее заданную кривую 7(0), соединяющую Scl. По построению "г -компоненты" вариационного векторного поля Srj' совпадают с заданным Srj'. Имеем также $г)°(0) = Srf (0). Можно заметить, что и Srja, и Srja удовлетворяют условиям (2.180). Из вышесказанного следует, что Srf = Srf. Тем самым, теорема доказана.
Заметим, что в работе Перлика (1990) получено доказательство принципа Ферма при более слабых начальных предположениях. Отличное от изложенного доказательство принципа Ферма представлено в работе Ков-нера (1990).
Принцип Ферма в конформно стационарных пространствах Рассмотрим конформно стационарное пространственно-временное многообразие, которое описывается конформно стационарной метрикой, т.е. ме-
- 2
трика "физического" пространства-времени ds при П > 0 связана со стационарной (не зависящей от времени) метрикой ds2:
ds2 = Q2ds2, ds2 = e2U(dt - Widx')2 - e~2Udl2, dl2 = ^dxi dx3. (2.185)
В соотношениях (2.185) величины U, Wi, fij являются функциями только пространственных координат - х', dl2 - пространственная риманова (т.е. Положительно определенная) метрика. Конформный множитель П может зависеть от всех четырех координат. Поскольку светоподобные геодезиче-cicHe по отношению к метрике ds остаются светоподобными по отношению к метрике ds2, то можно применить принцип Ферма к метрике ds2 для нахождения светоподобных геодезических в метрике ds . На нулевой кривой, Направленной в будущее, имеем из условия ds2 = 0
dt = Widxi + e~2U dl. (2.186)
P
ли моменту испускания луча света соответствует значение параметра ' s 0, и если рассмотреть стационарного наблюдателя, т.е. наблюдателя, 76
Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
мировая линия которого х' =const параметризована значениями t, то вре. МЯ пересечения нулевой кривой мировой ЛИНИИ наблюдателя определяется следующей величиной:
t = J (Widxi + e~2Udl), (2.187)
где ж'(А) - проекция пространственных координат кривой 7. Тогда принцип Ферма сводится в данном случае к условию
5 I (Widxi + e~2Udl) = 0. (2.188)
Эта версия принципа Ферма формально идентична классическому принци-пу Ферма, если
п = e~2U -f WidxiZdl (2.189)
рассматривается как (зависящий от положения и направления) эффективный индекс рефракции, и dl рассматривается как геометрическая длина дуги. В частном (конформно) статическом случае, Wi = 0, вакуум становится подобным изотропной, недисперсивной среде с индексом п = e~2U. Условие (2.188) может быть доказано также следующим образом: пространственные траектории световых лучей являются геодезическими по отношению к финслеровой метрике Widx' -f e~2Udl, которая становится римановой, если Wi = 0. Заметим, что в этом статическом случае величина e~2Udl не есть пространственная часть физической длины дуги. Это различие является причиной появления множителя 2 в законе отклонения луча света в выражениях ОТО по отношению к соответствующим выражениям, полученным в рамках ньютоновской теории гравитации.
Метрики изолированных, медленно движущихся, некомпактных распределений материи
Предположим, что ga? лишь немного отличается от метрики Минковского плоского пространства rja? = diag (1, —1, —1, —1) в ортонормированных координатах X0 = et, х = (х'). Тогда можно записать выражение для метрики в виде
ga? =(1-?) Ч<4> + h na?ha?, \ha?\ < 1. (2.190)
В линейном приближении по отношению к метрике ha? можно без ограничения общности т.о. выбрать систему координат, что будет выполнено калибровочное условие
ha?,? =0. (2.191)
Тогда уравнение Эйнштейна, линеаризованное по метрике ha?, в предположении, что А-член пренебрежимо мал, принимает вид
"4 |Г) = ??-". (2.192) 2 4 Вывод уравнения линзы из принципа Ферма 77
ЦетруДн0 выписать решение уравнения (2.192):
c4 J \у\
Рассмотрим тензор энергии-импульса в предположении, что а) материя движется медленно по отношению к координатной системе Xa, т.е. если = dx'/dt, то |и| <С с; б) |р| <С рс2. Поскольку тензор энергии-импульса идеальной жидкости имеет вид
Ta? = (рс2 + p)UaU? - pga?, (2.194)
то в данном случае
T00 « рс2, T0' « Pcvi, T3 « PViV3 + pSij, (2.195)
где знак й означает, что пренебрегаем членами порядка V2 /с2 и р/(рс2). Если ввести запаздывающие потенциалы
U{ti х) := —4 [ P(t-V/°;* + V)fy. (2Л96)
