Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
V2(Z)-
Vi (z)V2(x)
ViH J
(2.102)
где функции Vi(z) определяются соотношениями (2.89). Подставляя (2.102) в (2.101), получим
p(z, z,) = 6(1 + zi) UVl(Zt)V2(Z) + V(z)V2(z,)][Gi(z) - G1(z1)]-
-Vl(Zl)Vi(Z)IG2(Z) - G2(z,)] - V2(zi)V2(z)[Gs(z) - G3(z,)]}, (2.103)
G2(X) =
2 + Й^+Й] vr^ + 2(1 ~ Q)Q(X)'
(2.104)
G3(x)
Q(x) _ л/1 + Qx 2 0(1-fx)' о < і,
0>1, (2.105)
0=1.
Итак, соотношения (2.103 - 2.105) задают решение ургшнения Дайера- Ре-дера, линеаризованного в неоднородности. Нетрудно проверить, что в случае 0 = 1 выписанное решение совпадает с решением (2.87) с учетом (2.91). Заметим, что функция p(zi, z)/( 1 + z,) удовлетворяет закону Этерингтона. Пучок света между плоскостями гравитационных линз. Обобщенное дифференциальное уравнение Дайера-Редера Т.к. между плоскостями, где находятся гравитационные линзы, источник сдвига предполагается равным нулю (Т = 0), то из ургшнения (2.16) имеем
Oi(A) = s/w2(X), (2.106)
где комплексное число з - константа интегрирования, имеющая размерность длины. Между плоскостями гргшитационных\линз TL = TLci, поэтому можно получить из ургшнения фокусировки (2.21), используя г как незгши-симую переменную, следующее ургшнение:
<'-)<¦ ¦ G-+и -G^W+
+ ^do) w = 0. (2.107)
Ургшнение (2.107) называется обобщенным уравнением Дайера-Редера. Это ургшнение описывает эволюцию величины пучка между двумя последовательными плоскостями гравитационных линз. Отличие ургшнения (2.61) °т ургшнения Дайера-Редера связано с тем, что в уравнении (2.61) учтен сдвиг от "искажений" в предыдущих плоскостях гравитационных линз. Если ввести, аналогично Зайц и Шнайдеру функцию, SQ(x) := sign(x)\/[rf, То общее решение обобщенного уравнения Дайера-Редера имеет вид
w(z) = [Лг?(*) + Br22(Z) + Cri(*)ra(*)], (2.108)
4To можно проверить непосредственной подстановкой (2.107) в уравнение (2.106), где ri(z) и r2(z) - два линейно незгшисимых решения ургшнения Дайера -Редера (2.76), А и В - константы интегрирования, которые определяются из начальных условий, а константа С должна удовлетворять соотношению
[W(O)]2 - AB^ = (^)2H21 (2-109)
1
: ІП
Vl +Os - s/T-
Vi-O vi+ Oz + VT 2
Q(x) =
Vo
-1 Q(X)
arctg
угто
Vo^rT 2
Vl +X
при
при
при 60
Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
где W(z) - вронскиан двух линейно независимых решений гі(z) и г2(г) ургшнения Дайера-Редера. Можно заметить, что для решения уравнения Дайера -Редера для матрицы P между плоскостями, где находятся гравитационные линзы при Zn и zn+1, справедливо соотношение при
Zn < z < zn41
Щ') = (^4) Dn + (-J^UfL) Pn41- (2.110)
vr(zn41lzn)/ vr(znizn41)/ т '
Отсюда получаем ги = «SQ(det Р)
v(z) = SQ
/ r(z^ydet^+
vr(zn41lzn)/ V r(Zn, 2n4l ) /
/ r(zn,z)r(zn41,z) \ 1
Vr(zn,zn41)r(zn41,zn// J
где скалярная функция Ж, определенная для двух 2x2 матриц X и V1 W(X,Y) = tr Xtr У - tr (XV). Сравнение соотношений (2.111) и (2.107) показывает, что можно взять n(z) = r(zn, z),r2(z) = r(zn+1,z), тогда константы А, В и С могут быть легко определены. Вычисляя вронскиан, используя соотношения (2.77) и (2.80), получим из ургшнения (2.109) значение константы |з|2 в зависимости от Pn и Pn4 ь-
Gr(Ltt41))2 [ига(р"'р"+1> - 4det Pn det Pn41] = (^)2 kl2- (2.112)
Необходимо отметить, что уравнение (2.112) симметрично относительно zn и zn41, что можно заметить, используя закон Этерингтона (2.82). Поскольку правая часть соотношения (2.112) неотрицательна, можно убедиться в том, что квадратная скобка в левой части этого ургшнения также неотрицательна. Действительно,
W(Pn4I1Pn) = det VnW(Vn+lVn\l) = det Pn^Pn41Pn1), (2.113)
где предполагается для простоты, что n-ая плоскость линзы не соответствует сопряженной точке пучка света. Как показано ранее, матрица Pn+1 Vn 1 симметрична, а для любой симметричной матрицы А имеет место нергшенство (tr А)2 > 4 det Л. Отсюда следует, что выражение, стоящее в квадратных скобках соотношения (2.112), неотрицательно.
Для специального случая пучков без сдвига |s|2 =0 выражение, стоящее в квадратных скобках в левой части ргшенства (2.112), должно обргццаться в нуль. Это имеет место, если и только если матрица Pn41Pn 1 пропорциональна единичной матрице Т. Т.о., получены ургшнения для пучков света между двумя последовательными плоскостями гравитационных линз для матрицы V и размера пучка w. 2 2 Вывод уравнения линзы
61
реКуррентные соотношения для размера пучка
последовательности плоскостей гравитационных линз
я®
Если в пучке нет неоднородности между вершиной и красным смещением z, матрица Якоби определяется соотношением V(z) = er(0,z)X/Но, в частности, для первой неоднородности при zi, V(Z1) = V(0,zi)X. Чтобы описать решение ургшнения (2.18) между (п-1)-й и n-й и между n-й и (п+1)-й неоднородностями, положим
V(z) = XiBi(Z)JrYB2(Z) ге[г„.1,4 (2.114)
V(Z) = X2Bi(Z)JrZB2(Z) z€[zn,zn+i], (2.115)
где Bi и B2 - линейно независимые решения дифференциального ургшнения Дайера-Редера. Выберем эти решения следующим образом: Bi (г) := ?)(0, г) и B2(z) = D(zn,z) (обозначим D(z) := D(0,z)). Xi, X2, Y, Z - действительные 2 X 2 - матрицы, определяемые из начальных условий. Рассматривая соотношения (2.114) и (2.115) при zn, получим An ¦= Xi = X2 = Vn/Dn- Вычислим производные по An соотношений (2.114) и (2.115) и рассмотрим их величину при An. Тогда из соотношений (2.51) и (2.77) получим выражение для разности
