Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
Это соотношение может быть переписано в виде
I^(O) = I{l+^(S)/(l+z)3, (2.144)
которое отражает связь интенсивности в окрестности наблюдателя Iui(O) и в окрестности источника I(i+z)ui(S). Другими словами, можно сказать, что в любом невзаимодействующем поле излучения отношение /ш/w3 не зависит от наблюдателя и постоянно на любом луче. Интегрируя по w, получим
I(O) = /(5)/(1 +z)\ (2.145)
что является релятивистским обобщением закона о постоянстве поверхностной плотности.
Пусть имеется монохроматический поток электромагнитного излучения - Sa,, измеряемый наблюдателем на частоте О, определяемый интенсивностью и телесным углом источника на небесной сфере наблюдателя = IuidQ. Интенсивность в точке, где находится наблюдатель, связана с интенсивностью излучения источника законом сохранения фазовой плотности фотонов. Из соотношения (2.144) следует, что
= ьм, (2.146)
w3(a) w3 wg
гДе А - аффинный параметр "центрального" луча рассматриваемого пучка
wo-w(0), W.:= w(A.).
Рассмотрим инфинитезимальный источник монохроматического излучения, излучающий с частотой wa и наблюдаемый с частотой w. Наблю-д aeMbift поток излучения Silt зависит от источника сдвига и сходимости 8доль пучка, соединяющего источник и наблюдателя. В усредненно фридмановской вселенной частота света не меняется при отклонения света, и 5* 68 Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
соотношение между аффинным параметром и красным смещением не няется при наличии неоднородностей. Тогда, сравнивая поток источнщ4 для случая, когда нет неоднородностей, и для случая,, когда они имеются получим отношение
Ц := SulZS0ut = du/du0 > 0, (2.147)
где ц называется коэффициентом усиления. Если ^ > 1, то пучок называет, ся усиленным относительно пустого пучка, <Ш И dfl0 - величины телесного угла, соответствующие источнику для случаев наличия и отсутствия неод. нородностей. Вспоминая определение матрицы Р, значение коэффициента усиления источника ц(Х) для различных значений аффинного параметра \ может быть описано следующим образом:
MA) =
det P0(A) D2(A) 1
det P(A) det P(A) det Л(А)
(2.148)
где для получения второго равенства было использовано то, что матрица Якоби задается соотношением "D0(X) = D(X)I, где D(X) - угловой размер пучка, на который не влияют неоднородности, т.е. решение уравнения Дайера-Редера с граничными условиями (2.77). Третье равенство следует из определения матрицы Якоби Л(А) = V(X)/D(X). Т.о., анализ матрицы А или коэффициента усиления в теории гравитационных линз сводится к анализу распространения пучка света при наличии и отсутствии неоднородностей.
Можно рассмотреть следующие случаи:
1). Если рассматривается немного неоднородностей, (величина 1 —а мала), т.е. на распространение большего числа лучей неоднородности не влияют. Тогда коэффициент усиления описывает отличие наблюдаемого потока от источника, когда на пучок влияют неоднородности, от потока в случае, когда на пучок не влияют неоднородности (что является наиболее вероятным в данном случае). /
2). Другой предельный случай заключается в том, что a мало, тогда источник сходимости становится предельно мал, и для описания пучков, не пересекающих неоднородности, нельзя пренебрегать источником сдвига, который различен для каждого выбранного пучка. Отсюда следует, что не существует типичного светового пучка, и определение коэффициента усИ' ления (2.147, 2.148) теряет первоначальный иллюстративный смысл: оно означает, что необходимо сравнивать поток рассматриваемого пучка света с потоком фиктивного пучка.
Заметим, что для случая a = Цры = Sp), величина D(X) определяемая из решения уравнения Дайера-Редера, может иметь любой знак, те^ самым, Леї может быть положительна. Уравнение относительной фокусировки Рассмотрим дифференциальное уравнение
^(A) = WAHc(A)MA). (2.149) 3.3- усиление потока световых пучков
69
Vj(X) - решение уравнения (2.149) с граничными условиями го(0) = О tff(O) = Предположим, что u(A) - известное решение уравнения (2.149) И сЛучая с(А) = Oc теми же граничными условиями t)(0) = 0 и u(0) = 1. Неделим монотонно убывающую функцию
X(X) := J^ (2.150)
Ясно, что X(Amax) = 0. Тогда, подставляя X(A) и t)(A) и вводя обозначения a ¦¦=. tv/v, получим дифференциальное уравнение
^a(X) = v\X)c(X)a(X). (2.151)
Используем следствие граничных условий гй(А)|х=о = u(A)U=o = 0 и получим граничные условия для а в зависимости от А
Q(A)U=O = I1 ^a(A)U=O=O. (2.152)
Рассмотрим уравнение (2.149), когда h = Нья(А), с = Hci(X) — |<т(А)|2, где W и V обозначают угловой размер рассматриваемого пучка и угловой размер пучка в пространстве без неоднородностей. Тогда уравнение (2.151) описывает распространение пучка относительно пучка, распространяемого в пространстве без неоднородностей, и называется уравнением относительной фокусировки. Поскольку:
V(A) = D(A) = S.r(z( А))
a(A) = 7JT-5Q(det2>(A)) = 5Q(det Л(А)). (2.153)
U(A)
С помощью функции а(А) можно получить усиление пучка для значения аффинного параметра А, а именно, ц(Х) = |а(А)|-2. Так как
