Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
din]
J «n
(2.127)
С другой стороны, из соотношения (2.74) получаем
Vitfn) - v-tfn) = -(1 +*„) [un(in)Vn(in
Приравнивая правые части соотношений (2.127) и (2.128), имеем
"Mnl'
для любого значения и поэтому
= [ЯФп(?„)] => <*«») = Ъ* Ф(ё„) + const,
(2.128)
№11.= ML« - H'-ML« <2Ш)
(2.130)
где определяется ИЗ соотношения const = — V^n Фп (О). Это выражение получается из рассмотрения предела в —> О, т.е. рассматривается случай, когда выбранный луч совпадает с "центральным" лучом (для этого луча ?(г) = О). Поэтому получаем с учетом (2.67)
М60 = Щ- fR Ч*') [ібГгЦї - W = *»(*») - ЫО). (2131)
Уравнение линзы
Рассматривая соотношение (2.121), подставляя В(гп+і) = D(zn, zn+i), 3 также учитывая (2.131), (2.78), соотношения взаимности Этерингтона 11 опуская индекс I, получим
t (1 + Zn-\)Dn,n+l J. , Dn-l,n-fl J.
tn+i - —TTT-TTn ; + ~n ^n ~
-0»,п+і[А„(Є„)-An(O)]. (2.132)„ 2 Вывод уравнения линзы
65
к пользу» величины V^1K ?n,n+i и безразмерные значения прицельных па-аметр0® Х] = /j^j ' покажем, что первый член правой части соотношения (2 132) может быть записан в виде
(1 + Zn-\)Dn,n+\ J. _ 2 п /0 .ооч
~ /, , . \п ^n-I — -VnUn+lXn-l, (2.130)
(А ~г Zn)Un — l,n
для второго члена соотношения (2.132) получим (аналогично Зайц и Шнайдер (1992))
^=^-$n = (l + v2n)Dn+lXn- (2.134)
Un — l,n
Djs „
С учетом определения нормированного угла отклонения a := ——а, полу-
Us
чим
Dn,n+i[&n(Xn) - An(O)] = Dn+i?n,n+i[oin(Xn) - <*(0)]. (2.135)
Подставим соотношения (2.133, 2.135) в рекуррентное соотношение (2.132) и получим безразмерное рекуррентное соотношение для прицельных векторов в плоскостях линз
Xn4I= (1 + V2n)Xn - V2nXn-I — ?n,n+\[c*n(Xn) ~ <*п(0)], 1 < П < N. (2.136) Преобразуем центр координатной системы в каждой плоскости так, что
j-i
x'j := Xj - Y, /3.j".(0)- (2.137)
і— 1
Введя определение
a'j(x'j) := Otj(Xj), (2.138)
получим рекуррентное соотношение, использованное ранее в теории гравитационных линз (Зайц, Шнайдер (1992))
ж'п+1 = (1 + ^)ж'п -V2nXn-I -?n,n+ia'n(x'n), 1 <n<N. (2.139)
D
То время как соотношение (2.136) описывает отображение луча относительно некоторого выбранного луча, который также отклоняется в каждой Однородности, соотношение (2.139) описывает отображение луча отно-СиТельно "оптической оси". Эта оптическая ось может быть построена lt^cOHHo гладкой нулевой геодезической, соединяющей центры координат-8ых систем на последовательности плоскостей, где находятся гравитаци-0aeWe линзы. Можно показать (Шнайдер и др. (1992)), что соотношение ^244166 Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
(2.139) эквивалентно уравнению гравитационных линз, расположенных ц нескольких плоскостях-(где мы опускаем знак "штрих" у переменных)
J-I
= -J^fcai(Xi). ї=і
Для частного случая j = n + 1 получим подстановкой ?,,N+i = 1 дд, положения источника, что
N
у := xN+i = Xi-J2a'(Xi)- (2.140)
>=i
Т.о., показано, что ургшнения, описывающие "отклонение" луча света, мо-гут быть получены путем использования формализованных гипотез дед описания распространения света в приближении геометрической оптики. В частности, получено, что ургшнение, описывающее систему гравитационных линз, расположенных на последовательности плоскостей, может быть выведено, исходя из дискретизгщии ургшнений распространения света и использовании предположения о слабых гравитационных полях.
2.3. Усиление потока световых пучков
2.3.1. Коэффициент усиления Светимость, поток и интенсивность
Пусть точечный источник движется по мировой линии is. Рассмотрим излучение, испускаемое этим источником. Количество фотонов, испущенное за собственный интервал времени в телесном угле dCls с энергией в интервале ffiws, huis + hduis], ргшно
drsdclsdws
47TWs
в соответствии с таким определением светимости, в котором предполагается, что источник излучает изотропно. В соответствии с законом сохранения числа фотонов, то же самое их число проходит через площадку dao, ортогональную лучу (в трехмерном пространстве) в напргшлении наблюдателя, за интервал собственного времени dro со значениями энергии в интервале [fiwo, hu о + fiduo]
drodaodwo
wo
где поток slllo - поток, измеряемый наблюдателем. Используя определение красного смещения и обозначение расстояния d'і — (dao/dds)1^2, пол)'
С _ ?(1 + »)а>
" ~ 4»(1 + Z)d'l2 '
(2.141)3.3- усиление потока световых пучков
67
jjgrerpHpy3 по всем частотам, получим общий поток
S _ 1 _ 1
' AnD2l 4тг(1 + z)2 D'L2'
причем из последнего уравнения ясно, что величину D' L можно называть "исправленным" расстоянием, a Di = (L/4nS) можно называть "неисправленным" расстоянием. Обозначим через Da размер источника
Dl = (1 + z)D'l = (1+Z)2Da. (2.142)
Для протяженного источника, рассматриваемого как набор некогерентных излучающих точечных источников, можно, учитывая соотношение (2.141), определение Da = (dAs/dQ)l/2 и (2.142), получить
dS„ _ dL(1+,)tt> 1
dOo 4Trdyl5 (1 + г)3' 1 >