Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
Udl= GMlnJQ-, (2.214)
S 2 Vda '
если пренебречь зависимостью от вектора Tj. Если ввести обозначение D' для расстояния, которое мало относительно расстояния Dds, но велико относительно значений прицельных параметра то соотношение (2.214) может быть переписано в виде
[' Udl = GM (ь JH- + In V Js V 2 D' DdsJ'
(2.215)
в котором первый член относится к лучу, находящемуся в слое толщиной D', в то время как второй член связан с этим лучом вне этого слоя. Складывая полученное выражение с аналогичным выражением для луча, распространяющегося от точки I к наблюдателю О, представляя его аналогично выражению (2.215) и используя линейность U , получим для времени запаздывания выражение
-JI J Udl = -ff d*t>4t') (in u^i) + const. (2.216)
Безусловно, величина D' может быть заменена произвольной величиной с размерностью длины, поскольку его конкретное значение не имеет смысла, тем не менее, первый член соотношения (2.216) описывает локальные эффекты, возникающие в окрестности гравитационной линзы. Складывая геометрический и потенциальные вклады в выражение для времени наблюдения источника наблюдателем и вычитая время наблюдения источника наблюдателем в отсутствие гравитационной линзы, получим временную задержку кинематически возможного луча относительно неотклоненного (гравитационной линзой) луча, т.е.
с At = ф(?, п) + const, (2.217)
где потенциал Ферма задается выражением
причем потенциал отклонения равен
^(?) = ^l(in Ji^i) + const. (2.219) Вывод уравнения линзы из принципа Ферма 81
---.
іЛЬзуем принцип Ферма для анализа траектории луча в рамках сделан-
положение
предположений и приближений, т.е., если задаем, скажем, чника rj, тогда время наблюдения источника наблюдателем стационар-licr^0 отношению к вариациям точки отклонения луча света I, т.е. вариа-даіям Тогда из условия dA t/d? = 0 получим уравнение гравитационной
линзы
Г) = Ddsa(S). (2.220)
дт0 уравнение задает связь положения источника и изображения для заданного распределения гравитирующей массы. Величина угла отклонения a = V(/>, как нетрудно видеть, согласуется с полученными ранее результатами:
V«^,tj) = 0. (2.221)
Тогда временную задержку для двух изображений ?''),^'2) источника, положение которого определяется вектором Tj , можно найти из выражения
c(h - t2) = faW, TJ) - , TJ). (2.222)
Величина (tі — t2) определяет разность значений координатного времени, соответствующих наблюдению первого и второго изображений соответственно. Для того, чтобы получить соответствующую разность значений собственного времени, эта величина должна быть умножена на коэффициент 1 +CZ0/с2, тем не менее, на Земле С/о/с2 « Ю-9. Уравнение гравитационной линзы в космологии Рассмотрим кинематически возможные лучи в метрике Фридмана-Роберт-сона -Уокера, выделив на них некоторое фиксированное событие S, связанное с излучением света, событие I, соответствующее отклонению луча света в плоскости линзы и событие О, связанное с наблюдением испущенного света, находящееся на мировой линии наблюдателя. Спроектируем на сопутствующую 3-поверхность с постоянной кривизной (к — 1,0, —1) события S, I, О, и тогда эти лучи образуют геодезический треугольник S, Ї, О Разделим временную задержку At возмущенных (гравитационной •линзой) лучей S, I, О относительно невозмущенного луча S, О на геометрическую часть Atgeom, обусловленную разностью длин траекторий SlO и SO и потенциальную часть, связанную с запаздыванием отклоняемых лучей S, /, О, гравитационным полем линзы вблизи события I.
Для получения геометрической временной задержки Ageom, запишем ВыРажение для метрики Фридмана-Робертсона-Уокера в виде
ds2 = R2[n](dr}2 - d<r2), где Г, := с J щ
(2.223)
°®0зНачает конформное время, R[rj\ = R(t) - масштабная функция в за-Вйсимости от конформного времени. Выберем так начгшо координат для 82 Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
величины rj, что "времени" испускания излучения соответствует значе^ rj — 0. В соответствии с выражением для метрики (2.223), и, поскодц ds2 = 0 для нулевых геодезических, геометрическое время задержки ОЦр( деляется следующим образом:
Д%еот = ffds +(Td -ff,. (2.224
Предполагая, что время задержки мало относительно хаббловского вред,, ни Hq1i можно считать, что
ctgeom = R0Arjgeom + crd - ffs- (2.225)
Для вычисления Arjgeom рассмотрим локально сферическое трехмерное про. странство к = 1. Тогда из теоремы косинусов сферической геометрии получаем COS ffs = COS ffds COS ffd — sin ffds sin ffd cos а, и, если заменить косинус угла отклонения как cos a = 1 — 2 sin2 (a/2), то
cos ffs = co$(ffd, + ffd) + 2 sin ffd, sin ffd sin2 (a/2),
отсюда с учетом (2.225) получаем
./1. \ sin ffds sin ffd . о /a\
sm - Arjgeom = -——-- sin - ) .
\2 g J sm ±(ffds + ffd + ffs) \ 2 у
I
Считая, что a 0, Д%еот ~ a2, тогда, т.к. as ~ ffds + ffd, то
. sin ffds Sin ffd „2
Д%еот = -a2 + 0(a ). . 2.226)
і Sin ff s
Можно увидеть, что а-расстояния выражаются через ^-расстояния следующим образом: Dds — R3 sin ffds, Dd — Rd sin ffd, Ds = R3 sin (T3, (0-1 ?)sin ff, = a sin ffds, тогда получаем, что j
