Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
J \У\
V(t> х) _4 J (pv)(t-y/c,x + y)^ (2 197)
получим выражение для метрики ds2 ga?dxadx? «
«(, + »)«¦*¦(2.198)
В ближней зоне медленно движущихся тел запаздыванием можно пренебречь, и тогда
« -С? / (2.199)
V{t>x) й _G| + (2.200)
Метрика (2.198) удовлетворяет условию слабого поля |/га/з|, если дополнительно к условиям а) и б) ньютоновский потенциал удовлетворяет условию
\U\ « с2, (2.201)
тогда
(2.202)
В частности, для сферически симметричных тел 2GM/c2 = Rs С R, поэто-МУ Рассмотрение таких объектов, как нейтронные звезды и черные дыры, точнее, рассмотрение гравитационных полей в окрестности этих объектов, Должно быть исключено. 78 Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
Отклонение света квазистационарными, изолированными распределениями масс
Предположим, что в течение времени, когда луч света взаимодействуй с материей, конфигурация массы существенно не меняется. Рассмотрим луч света в метрике (2.198) и используем принцип Ферма для нахождещц отклонения луча света. Тогда имеем следующее выражение для индекса рефракции:
о TJ л
" = (2-203)
где е :— dx/dl - единичный касательный вектор данного луча, dl = |ж| евклидова длина дуги.
Получим уравнение, описывающее пространственную траекторию лу-чей света как следствие уравнения Эйлера-Лагранжа, исходя из вариаци-онного принципа, т.е. из условия равенства нулю первой вариации
(2.204)
Выписывая уравнения Эйлера-Лагранжа для функционала (2.204), получим
dp 2 4
= -±V±U +Jex(Vxe), (2.205)
где Vj_t/ := VU — е(е • Vt/) обозначает проекцию вектора VU на плоскость, ортогональную вектору е. Нетрудно проверить, что это уравнение может быть получено также из уравнения геодезических для метрики (2.198). Первый член уравнения (2.198) отражает член типа кулоновского притяжения по направлению к притягивающей массе. Второй член обусловлен действием гравитомагнитной силы, образованной, согласно ОТО, движущейся материей (массовые токи).
Определим угол отклонения луча света как разность начального и конечного направлений луча света
а := е,„ - E0Mti (2.206)
тогда,из уравнения (2.205) имеем
a = -| J VLUdl - і J е x (V x e)dl. (2.207)
Проинтегрировать дифференциальное уравнение второго порядка (2.205) в общем случае непросто. Тем не менее, это уравнение можно проинтегрировать, вводя некоторые дополнительные предположения. Будем считать, что отклонение достаточно мало и имеет место в области, в несколько раз превышающей величину d + 8, где d - размер гравитирующей массы, 8 ' наименьшее расстояние луча света от этой массы. В частном случае точечной массы U(x) = —GM/\x\ интегрирование вдоль луча света x(l) = ? -Me'
¦
8 / ndl = 0. а Вывод уравнения линзы из принципа Ферма 79
вектор, ортогональный касательному вектору е = е;„ и равный
где
п о „ .
Эйнштейна
величине прицельному параметру, приводит к выражению для угла ітейна"
Предположим, что не только угол отклонения а мал, но и размер грави-тИруюшей массы в направлении луча мал, сила гравитационного поля так же мала, луч отклоняется лишь на небольшой угол, и величина Asmax ~ ab кала сравнительно с масштабом длины, на котором меняются поля, т.е.
IAwViVxC/! < |VxC/|. (2.209)
Тогда можно проинтегрировать уравнение (2.207), и угол отклонения равен сумме углов Эйнштейна (2.208), обусловленных влиянием массовых элементов линзы. Можно спроектировать все массовые элементы линзы на плоскость, ортогональную вектору е;„, проходящую через некоторый (вообще говоря, произвольный) "центр" гравитационной линзы, и тогда сможем описать линзу, используя поверхностную плотность массы ?(?)• Тогда
где интегрирование проводится по плоскости гравитационной линзы, ? -двумерный вектор в этой плоскости.
Предположим, что линза геометрически тонкая, и угол отклонения мал. Используя это предположение, можно действительную траекторию луча заменить ее асимптотами, пересекающимися в точке I, находящейся в плоскости гравитационной линзы. Рассмотрим световой сигнал, испущенный источником S в момент t = 0, тогда этот луч достигает наблюдателя в момент времени
t = с-1 J (l- dl = c-1I - 2с_3 J Udl, (2.211)
где I - евклидова длина траектории от источника S до наблюдателя О, а Потенциальный член" интегрируется вдоль траектории луча. Для длины траектории имеем выражение
l = + + + + + (2.212)
гДе Dd - расстояние от наблюдателя до гравитационной линзы, Dds - рас-стояние от гравитационной линзы до источника, D3 — Dd + Dds- Для °Ченки члена с потенциалом вычислим интеграл с потенциалом точечной Массы в начале координат плоскости линзы, причем положение источни-Ка S характеризуется вектором Tj в плоскости, параллельной плоскости 80 Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
линзы и проходящей через источник, а вектор ? характеризует положен^ изображения источника в плоскости линзы. Тогда
J Udl = GM
InJ^L + idizJl + o (ILLi Ш 2Dds + Д, + Ц Аь
(2.213)
С учетом сделанных предположений можно заменить соотношение (2.213) следующим приближением:
