Гравитационные линзы и микролинзы - Захаров А.Ф.
ISBN 5-88929-037-1
Скачать (прямая ссылка):
dX dX
V с J гЦХ)1
Т° если ввести обозначение Amax = ІІШг-юо А(г) и использовать соотноше-1016 (2.51), то получим
- Ш" Г ,¦(*)<. +. - (і)" "•»¦(2ли)
гДе введено обозначение для космологической функции x(z) (Шнайдер и др- (1992))
Г°° dz
x^=/ 2 ( UIX ^3 /ОД' (2Л55)
Jz г2(г)(1 -(- z)3\/ilz -(-1 70 Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
Подставляя (2.154) и (2.153) в уравнение (2.151), уравнение относительц^ фокусировки перепишем в виде
?l°(x) = (^) г4(х)[*с> - Их)|2]а(х), а(х) = SQ(detA(x)), (2.1?;
Заметим, что из монотонности функций х и А в зависимости от z следу,,, что можно выбирать в качестве независимого параметра на луче z, А щц, X-
Теорема о фокусировке
Неположительность члена Hci — |<г|2, посредством которого оказываете! возможным учесть влияние неоднородностей в уравнениях фокусировки показывает, что пучок, проходящий через неоднородности всегда больще сфокусирован, чем пучок, не проходящий через неоднородности. Отсюда получаем, что до тех пор, пока пучок не образует первую сопряженную точку, его угловой размер не может быть больше, чем у пучка, не про-ходящего через неоднородности при одном и том же значении красного смещения. Эта так называемая теорема о фокусировке может быть доказана, в частности, исходя из уравнения относительной фокусировки. Если пучок света не образует своей первой сопряженной точки, то функция а(А) удовлетворяет неравенствам
О < а(А) < 1 ц(Х) >1, 0 < А < Ac, (2.157)
или пучок света не может быть ослаблен относительно пучка, не проходящего через неоднородности. Действительно, используя граничные условия для функции а(А) (соотношения (2.152)) и то, что величина HcI — \<г\2 -
неположительна, получаем, что вторая производная —rd(x) всегда непо-
dX
ложительна. Т.о., величина а всегда заключена между нулем и единицей в интервале между вершиной и первой сопряженной точкой пучка. Можно доказать также несколько более сильное утверждение: до тех пор, пока пучок не прошел сопряженную точку, функция а(А) монотонно не возрастает. Действительно, поскольку x —? +oo и
Iim Ф- (х) = О, X-++оо dx
то из уравнения (2.155) следует, что
g(x) = ? (^)2 г\х')[Пс1 - M2WxVx'. (2.158)
Отсюда производная da/dX может быть записана в виде
Tx^ - Ш H ' V)PMx') - M2(X)WxVx'. (2.159)
Т.к. подынтегральная функция неположительна, то da/dX < 0, следов3' тельно, функция а(А) монотонно не возрастающая. 3.3-
усиление потока световых пучков 71
Теорема °б усилении
едем доказательство теоремы об усилении в рамках модели кратной равитани0нн0® линзы. Введем определение
Sn:= AnAn+1, 1<п<ЛГ, (2.160)
где матрицы Лп определяются из соотношений (2.120). Для матриц Sn выполнены следующие рекуррентные соотношения
Sn=Tn- V2nSnL1, Si=Ti=A2, l<n<N. (2.161)
Из того, что матрицы Tn симметричны, следует (доказательство по индукции) симметричность матриц Sn. Для матриц Якоби можно записать
соотношение
Л(п)(г?(п)) = (1 - П(п))Ап + г7(п)Л„+і, 1 <rt < N1 (2.162)
где Л(п) = А П, = An+1. Функция г/ (будем опускать индекс (п), если очевидны номера плоскостей гравитащюнных линз) - строго монотонная функция в зависимости от красного смещения с граничными условиями r)(z„) = 0 и ri(zn+i) = 1:
-M-да+•¦<¦». »'м- IvzIZmdIZ:]- (2'і63)
Можно выразить функцию rj через космологическую функцию X (2.155):
»/(х) = (Xn-x)/(xn-Xn+i), Xn+i<X<Xn, (2.164)
где введены обозначения Xi := х(г>)- Введем в рассмотрение следующие матрицы (1 < n < N):
S^(г,)-.= A^(Tj)An-1 =r,An+i An-1 + (1 - rj)X=TjSn + (1- r?)X, (2.165)
которые являются линейной интерполяцией между матрицей s'") (0) = I и S(n)(l) = Sn. Выпишем следующее выражение для определителя матрицы
sinHny.
anrj2 + bnrj + l:=det 5(п)(г7) = г72 det Sn +(1- rj)2 + (1- r/)r/ tr Sn, (2.166) on = [det Sn - tr Sn + 1], Ь„ := [tr Sn - 2]. (2.167)
T
1 огда справедлива следующая
Теорема. Если пучок света при распространении от источника к наблюдателю не проходит через сопряженную точку, то матрицы Sn удовле-т®оряют следующим неравенствам:
О < det Sn < 1, 1 < n < N, (2.168)
О < tr Sn < 2, l<n<N, (2.169) 72 Глава 2. Уравнение гравитационной лиц ^hl
тогда с учетом соотношения (2.160) получаем
0 < det An+1 < det An < ... < det Ai < det Ai = 1. (2.17о)
Т.к. коэффициент усиления пучка света (относительно пучка, распростра няющегося через пространство без неоднородностей) задается следующ^ формулой:
v := n(z,) = 1/det An+ і, (2.171)
то отсюда следует, что /і > 1, т.е. пучок усиливается (безусловно, термин "не ослабляется" был бы более точным, тем не менее, можно заметить, что для пучка света без сопряженных точек между источником и наблюдате-лем коэффициент усиления может иметь H = 1, если и только если сдвиг и сходимость равны нулю на всех плоскостях гравитационных линз, тем самым, случай ^=I весьма маловероятен).
Для доказательства рассмотрим квадратный трехчлен (2.166), соответствующий значениям констант при рассмотрении пучка между n-й и п +1-й плоскостями гравитационных линз, поэтому возьмем интервал rj Є [0,1] (значения rj > 1 и rj < 0 соответствуют значениям красного смещения z > zn+1 и z < zn, для которых выражение (2.166) не рассматривается). Если пучок света не проходит через сопряженную точку, то матрица Якоби Т> имеет положительный определитель вдоль пучка. Отсюда следует также, что det A(z) > 0 вдоль пучка, и, в частности, det An > 0 для любого значения п. Из определения (2.165) S1-"* (rj) следует, что определитель det S^nI (rj) положителен для всех значений п, и Vr/ Є [0,1]. Из (2.166) получаем
