Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
Полученный интеграл столкновений не обращается в нуль при подстановке в него максвелловской функции распределения. Ранее на этот факт было указано в [61].
Кинетическое уравнение (1.142) с интегралом парных столкновений (1.143) или (1.145) (на ультрарелятивистской стадии расширения 1.2. Столкновения в мире Фридмана.
59
Вселенной) применимо также для описания нерелятивистского газа из гравитирующих частиц (см. [65]), если заменить в (1.143) и (1.145) е2 на Gm2 , где G—гравитационная постоянная, и заменить в (1.142) член
^a г-, OFa
— -T1OtkmTs-
С OPa
на
^ dFa
ОРос
где ip—самосогласованный ньютоновский потенциал. Это связано с тем, что нерелятивистские частицы в плазме взаимодействуют по закону Кулона, а гравитирующие частицы по закону Ньютона. Эти законы совпадают друг с другом с точностью до замены е2 на Gm2 .
После такой замены в случае, когда масштабный фактор изменяется по закону a = a\r}) получим из (1.145)—(1.148) следующее выражение для интеграла столкновений гравитирующих нерелятивистских частиц на радиационно-доминированной стадии расширения Вселенной:
Еаб = G2Tn2aTn2K [ d3p' f
Здесь
koo koo
Lab — ~ J ^arctg(fcm7) ~ 2 J^-= In(Ie00Urj)2.
O l/kri
Мы положили здесь ко —> О, учитывая, что гравитационные взаимодействия не экранируются на больших прицельных расстояниях. Подставляя (см. [59])
a(v2) Iv2)1/2
L» — ->-L--у л-L-
G(ma + mb)' с
где (v2)1/2—средняя квадратичная скорость частиц, получим
i(v2)3t2
Lab - In
G2(mfl + m6)2_
(1.152) 60
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
Для получения интеграла столкновений для гравитирующих частиц на нерелятивистской стадии расширения Вселенной, когда масштабный фактор изменяется по закону a = (1/2)аот?2, нужно исходить из (1.143). При этом, конечно, следует заменить е2 на Gm2. После такой замены интеграл столкновений (1.143) совпадает с выражением (15) работы [59]. При дальнейших вычислениях авторы работы [59] ограничились нахождением логарифмически расходящихся членов в интеграле столкновений. Для нахождения этих членов можно изменить порядок интегрирования по Ar и г, в (1.143), что и сделано в [59]. Для того, чтобы вычислить все члены в интеграле столкновений, необходимо вычислять интегралы в (1.143) в том порядке, как они написаны, так как них не выполняются условия теоремы о возможности интегрирования несобственного интеграла по параметру.
Получим более точное, чем в [59], выражение для интеграла столкновений нерелятивистских гравитирующих частиц на нерелятивистской стадии расширения Вселенной. В этом случае
Ua = V1a-V0l- Wa/rj2,
где Wot не зависит от rj. Поэтому
V т
S TTfcO^ / ^rexp [г'к/^v' - vWl = А {s«e - -??) + BS"?>
О г,
где
V
2А + ЪВ = J ^ J drexp [ikw Q - І) ],
О
Bu2 = J ^(kw)2 J drexp [ikw Q - I) ].
O
Вводя сферические координаты в к-пространстве с полярным углом, отсчитываемым от направления вектора w, интегрируя по угловым переменным и вводя вместо т переменную tf = (1/т— I/77), получим:
/с OO +СО
л f „ Г dt' d2 (sin(kwt') \
I l (і+ ,) M**)'H=TiJ- 1.2. Столкновения в мире Фридмана.
61
2 А
«со +OO
+ W = 4тг [ dk [ --—
/ / а+")
dt' sin(fctirf')
В интегралах по t' сделаем замену переменной х = k wtf, а затем в интегралах по к заменим у = . Тогда выражения для А и В примут вид:
rj +OO
4тг о f - C1 у d2 /sinX\
В = --4 J dy J =
Jc00 XV
П +OO
= / dy JdxІЇТ^І (5Tf)'
2Л + ЗВ =
W
п +OO
/*/ і
Sin Ж
В этих интегралах уже можно менять порядок интегрирования. Отбрасывая после перемены порядка интегрирования слагаемые, обращающиеся В нуль при коо —> оо , получим следующие значения для А и В:
OO
(sin X — Ж COS я) _ TT2
)
U
о
в
OO
•V
dx-
2А + ЗВ = -[Inik00UT?) + С - Il = — Ul jU
^Lab + C-I
Здесь С ~ 0,577—число Эйлера.
В результате после замены е2 на Gm2 в (1.143) получим интеграл столкновений для нерелятивистских гравитирующих частиц на нерелятивистской стадии расширения Вселенной в следующем виде:
_
^a —
G2Tn2aTn2TT fd3p'
J ^ {(Lab - 5 + 2C) (Sa? - + 28a?}:
(1.153) 62
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
Как видим результат отличается от (1.151) только заменой коэффициента Lab — 3 на Lаь -Ь 2С — 5 перед
Интеграл столкновений для гравитирующих частиц совпадает по виду с интегралом столкновений для кулоновских столкновений только в том случае, если за время расширения Вселенной произошло очень много столкновений, так что
^min
Здесь rmin —расстояние, на котором кинетическая энергия частиц сравнивается с потенциальной энергией взаимодействия. Если число столкновений не очень велико 10), так что
2 Ш л » 1,
^min
но Lab ~ 1, то полученные интегралы столкновений (1.151) и (1.153) отличаются от интеграла столкновений типа Ландау. В результате интегралы (1.151) и (1.153) не обращаются в нуль при подстановке в них максвелловской функции распределения. Это означает, что в мире Фридмана невозможно равновесное состояние гравитационно взаимодействующих частиц (см. также [61]). Физический смысл этого факта понятен. Если за время существования Вселенной произошло не очень большое число столкновений, то за это время и не может успеть установится состояние локального термодинамического равновесия.
