Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
[Q
Mr)—3 (exp(ikq) sin A(r - г')) -dqPt
- v?(T)J~jk (exp(ikq)sinfc(r - r'))
Здесь штрихованные величины, относящиеся к частицам сорта 6, выписанные без аргумента, берутся в момент тf. Нештрихованные величины—в момент г]. Если указан аргумент, то величина берется в момент, указанный в аргументе:
(oFa(a:)/9pa)r означает производную по ра от Fa , в которую вместо аргументов 77, q подставляются аргументы
и q +
fvWW.
Аналогично {dFb(x')/dj/^j означает, что аргументы 77', q7 после дифференцирования по p'? следует заменить на
г' и q' + y v'(tf)dtf'.
Дальнейшие упрощения выражения (1.126) можно сделать, если считать большим параметр kr]: kr] 1. Это приближение соответствует тому, что расстояния, на которых происходит столкновение, много меньше светового горизонта: 52
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
Для оценки интегралов в приближении (1.127) применим метод стационарной фазы [60]. Этим методом легко оцениваются интегралы вида
J^ dr'exр (^ik J^ Ф{т') sink(r - г') ~
J^ dr'exp ^ik J^ v'(T/")dT}""j ф(г') cos k(r — т') ~
и аналогичные этим. Здесь 0(г')—функция, медленно меняющаяся по сравнению с кт'.
Дважды интегрируя в (1.126) с помощью приведенных выше оценок, получаем
jab = 2е|е|? J d3pl J ^^^ + ^((kv) _ (kv/})] х
7ГС
jH drexp (ik jfVV) - v(q") w) I F6(Z)X
[Ifc2 - (kv')2] [A2 - (kv'(r))2] _kV'(r))] - (if) т Fa(x) [k2 - (kv)2] [*» - (kv(r))2] X
И(г)^(г')^ +^(г)(ку'(г) - kv(r))
}
(1.128)
Здесь величины, у которых не указан временной аргумент, вычисляются в момент rj.
Для нерелятивистской плазмы, когда | va |<g 1, имеем из (1.128)
Я=P4Sf = I d*p' I d^kakp ? <frx 1.2. Столкновения в мире Фридмана.
53
x«p(ik/'(V-V)d,'') (,.,29)
Здесь Va = pa/maca, v'Q = р^/тьса.
Наиболее просто интеграл по г вычисляется в случае, когда масштабный фактор а изменяется по закону а = а^, т.е. для плазмы на радиационно-доминированной стадии расширения Вселенной [9]. В этом случае v = vo/77, v' = v'o/»7, где vo и v'o не зависят от времени, и выражение (1.129) принимает вид (если пренебречь зависимостью функции распределения от времени и координат внутри области корреляции)
Габ _ 2elel [ 3 [ d3k kak?T] (dFa dFL \
-I^-J dpJ їй ik(V - V) + 1 - W?Fa J • (1130)
Вычислим интеграл (u = v' — v) d3k kak?ff
Здесь
B = I
U
, or, 4тг fk°° dk ,, x 2 A + 3B = — / —arctg(fcti77),
u JkD k
77 + т~~--arctg(ArjDti77) - ^ 2 arctg(fe?>tiyy)j.
.2 kDurf {кищУ
При вычислении интеграла для В верхний предел для к положен равным +00, поскольку этот интеграл сходится в бесконечности. Нижний предел для к положен отличному от нуля значению Arp , несмотря на то, что интеграл сходится при к —> О. Этим мы учитываем экранирование электромагнитных взаимодействий на расстояниях, больших, чем радиус Дебая /р :
Для величины 2 А + З В получаем интеграл, логарифмически расходящийся при Ar —> оо, но сходящийся при Ar —> 0. В качестве Ar00 следует взять значение [57]
= (1.133) 54
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
Нижний предел для к по прежнему положен отличному от нуля значению ко , несмотря на то, что интеграл сходится при к —> 0.
Масштабный фактор а в (1.132) и (1.133) введен по той причине, что электромагнитное поле раскладывается по гармоникам вида exp(ikq). Поскольку пространственные расстояния измеряются величиной aq, физический волновой вектор есть не Ar, а к/а.
Обратим внимание на отличие ядра в интеграле столкновений (1.130) от ядра Ландау. Это отличие приводит к тому, что макс-велловская функция распределения
F = const exp(-?p2)
не обращает интеграл столкновений в нуль.
Если параметр kr>urj устремить в бесконечность, то ядро в интеграле столкновений (1.130) принимает вид Ландау, так как в этом случае a = k2l/2u\в = 0, где
Гк
L = 2
JkD
[к°° dk JkD к
—кулоновский логарифм.
В действительности величина кпщ при подстановке среднетепло-вой скорости вместо uc оценивается как
—(^fKlf-K^P-
Подставляя в это выражение зависимость концентрации электронов от времени из [33], N ~ IO"8-IO31/"3/2 (время измеряется в секундах), получим
кпщ - — - 1015*1/4 » 1. (1.134)
Ict
Учитывая (1.134), получим интеграл столкновений для нерелятивистской плазмы при произвольном изменении масштабного фактора а. Для этого применим к интегралу по г в (1.129) метод стационарной фазы, считая большим параметр
~ k(v'-v)77. (1.135)
Ict
Если при этом не пренебрегать возможной зависимостью функции распределения от времени, то можно получить после вычисления 1.2. Столкновения в мире Фридмана.
55
трехмерных интегралов по к:
^ J^i5-'W/-) ~
-^(1,-1?) '-+PiP-
fcpti2 V^ и2 / L \ a Or7/ op?
В итоге кинетическое уравнение для нерелятивистской плазмы в мире Фридмана имеет вид
Уг + Sr + = E (1137)
drj dqa с dpQ dpa ^
где Е?6 имеет вид (1.130) в случае зависимости масштабного фактора от времени a = а\Г) и при пренебрежении зависимостью функции распределения от времени, но при произвольном значении параметра tCT/t. В общем случае выражение (1.136) дает вид интеграла столкновений в пределе tCT/t 1.
