Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
При выводе уравнения считалось, что "усредненное гравитационное поле", создаваемое частицами, можно считать (как и функцию1.3. Гравитационные взаимодействия в ОТО
69
распределения) постоянным в области, определяемой радиусом корреляции и соответствующим временем корреляции. Поэтому при получении правой части кинетического уравнения (интеграла столкновений) зависимостью усредненной метрики от координат пренебрега-лось: уравнения Эйнштейна, решение которых необходимо для нахождения микроскопических гравитационных полей, создаваемых частицами, линеаризировались не относительно усредненной метрики, а относительно метрики плоского пространства—времени Минков-ского. Это привело, как и в теории плазмы, к появлению в интеграле столкновений расходимости при больших прицельных расстояниях. Учет усредненного гравитационного поля при решении линеаризированных уравнений Эйнштейна привел бы к устранению этой расходимости. Аналогичная ситуация наблюдалась при выводе кинетического уравнения для гравитационно взаимодействующих нерелятивистских частиц в рамках ньютоновской теории гравитации (см. 1.2). Если не учитывать расширения Вселенной, то интеграл столкновений совпадает с точностью до замены е2 на Gm2 с расходящимся на больших прицельных расстояниях интегралом столкновений Ландау для плазмы. Введение в кулоновском логарифме обрезания на расстояниях порядка (v)t приводит к результату [59], полученному с учетом влияния расширения Вселенной на акт столкновения частиц.
Полученный здесь интеграл столкновений для релятивистских гравитирующих частиц также оказывается пропорциональным аналогу кулоновского логарифма, в котором мы вводим обрезание на расстояниях rmax порядка (v)t. После этой процедуры кинетическое уравнение применимо для описания системы частиц в расширяющемся мире Фридмана.
Полученное кинетическое уравнение применимо не только в случае, когда усредненное поле есть расширяющийся мир Фридмана, но и в других ситуациях, когда усредненное гравитационное поле можно считать постоянным внутри области корреляции. Только в этом случае необходимо отдельно исследовать вопрос о введении обрезания на больших прицельных расстояниях.
Релятивистское кинетическое уравнение для гравитационно взаимодействующих частиц имеет много общего с релятивистским кинетическим уравнением Беляева—Будкера [58] для релятивистской плазмы. Отличие заключается в следующем: множитель (ее)4(UfiUt)2 в выражении для интеграла столкновений Беляева—Будкера заменяется множителем
(Wi)Wi)],70
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
где Uil U1i—4-скорости сталкивающихся частиц, Pi1Pfi—их импульсы, е—заряд частиц, G—гравитационная постоянная.
В конце параграфа рассмотрено одно из возможных приложений теории: исследовано взаимодействие реликтового излучения с крупномасштабными скоплениями вещества.
1.3.2 Случайная функция распределения и уравнения Лиувилля
Пусть имеется система, состоящая из нескольких сортов частиц. Сорт частиц будем обозначать латинскими буквами а, 6, с,____Примем также следующие обозначения: па —число частиц сорта a, q% — координаты (</° = 77), р,-—ковариантные компоненты импульсов, измеренных в метрике gij , которую будем представлять в виде суммы усредненной метрики gij и вклада Sgij , обусловленного взаимодействием частиц (г, j, Ar,... пробегают значения 0,1, 2, 3, нулевой индекс обозначает временную компоненту).
Введем случайную функцию частиц сорта а [5, 64]:
Xa(q,p) = ? / - ЯІпШЧРз (1.169) /=і 3
где S—канонический параметр вдоль траектории, a q\^(s), Pjl\s) определяются из уравнений движения (рг = g%ipj)
Вследствие (1.170) функция Na удовлетворяет уравнению:
~idNa ~ ~j~kdNa n /1 1714
P w+ Tj^p — = 0 (1.171)
Здесь TjtHs—символы Кристоффеля первого рода, вычисленные по метрике gij .
Наряду с импульсами рг^ = macdq^/ds мы будем также использовать импульсы Pt, измеренные в метрике д^ :
pj0 = с*-\ч,рЩу (1.172)
a(q,p) = ds/ds = (9црУ)1,2(Ыр1РкГ1/2- (1-173)1.3. Гравитационные взаимодействия в ОТО
71
Здесь S—канонический параметр, вычисленный по метрике gij . Перейдем от pi к Pi по правилу
Pj = 9JkPk = OtgjkgkiPi. (1174)
Вычислим якобиан преобразования (1.174), равный определителю матрицы
=Otgik (Skm +ukvm) д^, (1.175)
dpj где
Uk = (gijpipj)~l/2pk, Vm = Um- a2gmjuj.
Векторы uk и Vj ортогональны (u*Vi = 0), вследствие этого определитель матрицы (Sm + UkVm) равен единице. Поэтому
||Ч=<4 (1-176)
opj д
Вследствие (1.176) случайная функция Na(Q1P) выражается через случайную функцию
Na(q,p) = Y,f dsS\qi-qi{l)(s))S\pj-pf(s)) (1.177) /=і J
следующим образом:
Na(q,p) = J1TNa(Q1P). (1.178) да0
Функции q^ и Pj^ в (1.177) определяются из уравнений, получающихся из (1.170) заменой (1.174) (р% = g**pj):
€-и- ^
Здесь
Aki = gki-щщ; 0? = ГJg -
—разность символов Кристоффеля второго рода для метрик gij и gij . Вследствие (1.179) функция Na(q,p) должна удовлетворять следующему уравнению Лиувилля:
WipiNa) + Wi [(rj',A " ^miWPkNa
= 072