Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
или ввиду тождества
уравнению
piW + r^plpkd^ = h ^TMPkNa). (1.180)
Уравнение (1.180) можно получить и непосредственно из (1.171) после замены переменных (1.174) и (1.178).
Тензор энергии—импульса частиц выражается через Na следующим образом:
Ti = Ec/ ^ЫЫЛ)- (1-181)
Если перейти к импульсам pi и функции Na , то получим
Г* = Ec/ -^^^p)^auiNa(qipa). (1.182)
1.3.3 Уравнения Эйнштейна
Величины QJ1k , стоящие в правой части уравнения Лиувилля (1.180), определяются из уравнений Эйнштейна (х = SttG/c4) :
Gij = XTijy
где Gu —тензор Эйнштейна, вычисленный по метрике gij , a Ttj выражается через Na по формуле (1.182). Если взаимодействие частиц слабо, то уравнения Эйнштейна можно линеаризировать относительно усредненной метрики д^ (gij = gij + Sgij ):
SGij + Qii=YjXcj [Хь(я,Р'ь) - nbfb(q,p'b)]. (1.183)
Здесь
fb = ( J dsSV' - 4)(*))<*4(р; - PfiHs))) = ^b(Nb)
—одночастичная функция распределения. 1.3. Гравитационные взаимодействия в ОТО
73
Тензором энергии—импульса
Ti = Ylc f -4^М*ьМя,Рь), ь J vis)
вычисленным С ПОМОЩЬЮ fb , определяется усредненное поле gij , SG1J —возмущения с точностью до линейных слагаемых по Sgij компонент тензора Эйнштейна,
Qij = E ЬС/ + «М^т.
Учтем, что в дальнейшем величины QtJk нам понадобятся только внутри области, определяемой радиусом корреляции и соответствующим временем корреляции. Если внутри этой области gij можно считать постоянными, то, как указано во введении, под gij можно понимать метрику Минковского. Слагаемыми, содержащими производные от gij , в частности величиной Qtj , линейно выражающейся через тензор Эйнштейна от метрики gij , можно пренебречь. В этом случае (1.183) принимают вид линеаризированных относительно метрики Минковского уравнений Эйнштейна. После введения обозначений (а,/?,7,...= 1,2,3)
Sgoo = iP, Sg0Q = фа, SgQ? = -hQ? эти уравнения принимают вид
- \(h:ac - ha?fa) = ^xmbC2J d<p'b(u'l)>[Nb(q,p'b)-nbfb(q,p'b)},
(1.184)
_ + 1(Ло/>_ h,«y =
= - ? Xmbc2 f d%u'°bu'ab [Nb(q,p'b) - nbfb(p'b)], (1.185)
ь J
\p?,6a? -\f'a? - i>Va? + \(Г'" + i>?'a)' + \h"a?- 74
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
-\h"sa? + \(hn - hli)8"? - \(h>Q? + Kin - Kit? - W) =
= Exm6C2 / - пьШ)]. (1.186)
6 -7
Здесь штрих обозначает производную по Tj = Cti запятая в индексе как в верхнем, так и в нижнем обозначает обычную производную по пространственной координате qa . Поднимание и опускание пространственных греческих индексов производится с помощью символа Кронекера Sa? , h = ft? , по повторяющимся индексам производится суммирование.
В дальнейшем воспользуемся обозначением
Фб(д,Рь) = Мя,Рь) - пьМЯіРь)
и тождеством
фь(ч,чУь) = ^)3 / d^J <13кехр[-ік(Ч-Ч')]Фь(гі,<ї,Рь), (1.187)
где kq = SQ?kaq? .
Неизвестные ір,ф a) ha? ИЩЄМ В ВИДЄ
= (2^)3 Е/^/ d^Jd3kexp[-ik(q-q')]x
x^fo.q'.pkk), (1-188)
Фа(»7>ч) d3kexp[-ik(q- q')]x
(1-189)
Ae/>(i?,q) = J^Y, Jd*PbJ d^J ^kexp[-ik(q-q')]x
(1-190)
Подставляя (1.187)-(1.190) в (1.184)-(1.186) для фурье-образов возмущений получаем уравнения (к2 = Sa^kak?)
!(Ifc2A - kak?hi) = xmbc2(u'0b)4b(v,q!,p'b), (1.191) 1.3. Гравитационные взаимодействия в ОТО
75
\{к2Г - кЧрф") + \i{k?ha? - kah)' = Хгпьс2и'0ьи'аьФь(ті,<ї,р'ь),
(1.192)
-|*гVа" + ^ka + ікуф'^б^ - V + ItUaY + \h"a?--lh"6a? - l(k2h - k1ksh?l)6aP + hkak?h + k2ha? - kakyh^~
Cd Zt &
- k?k^a) = XmbC2u'ab u'?b<f>b(T,,q',p'b). (1.193)
Здесь мы опустили индекс Ь у неизвестных ipb,hbQjQ . Там, где это не может привести к путанице, мы будем опускать индекс Ь и ниже.
Далее все возмущения разобьем на три типа: скалярные, векторные и тензорные [55]. Для этого представим Ufoc в виде
u'a = Yu\\ + u'"> (1Л94)
где i«|| = (kotufot)/k, kau,aL = 0.
Введем обозначения Uf21 = 6Q?ll'±u'± = u'2 —u'jj, и'2 — х --fcxTfP " единичный вектор Sfoc , направленный вдоль u,ctL :
-fx* kah\«r? Введем в рассмотрение также тензор
Q'a? = S'aS? - - (^Sa?--,
обладающий свойствами:
S"PQ'a? = 0, k°Q'a? = 0, Q'a?Q'a? = \.
Тензор Uf^ufъ может быть представлен в виде разложения по линейно независимым тензорам:
Wb = уи-' + - 3и%0 (I^ - +
+ «'4|«'bJ, {jS'b + Ts'ь) + « bitf?'. (1198)
(1.195)
(1.196)
(1.197) 76
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
Представим Val7?' Pb^ к) и hba?(i), q', р'ь, к) в виде суммы скалярных, векторных и тензорных возмущений [55]:
= J-Vbii + S^6J., (1-199)
+ \*ъ (jft + yS'?) + VbQ'ba?. (1.200)
Подставляя (1.194), (1.198), (1.199), (1.200) в (1.191)-(1.193) и приравнивая в левой и правой частях уравнений (1.191)—(1.193) коэффициенты при линейно независимых пространственных тензорах
I? If kak? ka cl k? , ,ь
jOo/3, 3 a^--JfcF"' "jf* bP + ~jjT Ьс" ч <*?
и при независимых векторах ka, Srba , получаем три независимые системы уравнений для скалярных, векторных и тензорных возмущений.
1. Скалярные возмущения
k2(fib + Xb) = 3Xmbc2 (u'°b)4b, (1.201)
ік(ї'ь + Л'ь) = -Зхтьс2ч'°ьч'Ь\\ФЬ, (1.202)
