Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
(V) = I/ d3vf0 = H(t)x. (1.162)
Po J
Постоянная Хаббла связана с плотностью числа частиц уравнением (1.158).
Полученное решение описывает однородно расширяющуюся Вселенную из гравитирующего газа.
Рассмотрим теперь гравитационное поле отдельно взятой частицы в расширяющейся Вселенной. Поле этой частицы описывается потенциалом Ф, который находится из системы уравнений (1.159), 66
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
(1.160). Сравним эту систему уравнений с системой уравнений электромагнитного потенциала в электронейтральной плазме. Последняя состоит из кинетических уравнений для функций распределения ионов и электронов и уравнения Пуассона для электромагнитного потенциала ipe :
Aife = 4тге{пе - щ). (1.163)
Здесь е—заряд электрона, пе и щ—плотности числа электронов и ионов, которые в состоянии, близком к равновесному, зависят от потенциала:
Пе = по ехр
n^noexp(Sf)-
Сравнивая (1.163) с (1.160) мы видим, что средняя плотность вещества во Вселенной играет в (1.160) роль плотности отрицательно заряженных частиц. Асимптотику поведения на бесконечности электромагнитного потенциала одной частицы в плазме можно найти подставляя в правую часть уравнения (1.163) вместо точных выражений для плотностей числа частиц первые два члена их разложений по степеням еіре/квТ. В результате получается решение для потенциала одной частицы в виде:
Ife--ехр
Г
(-?) ¦ <1Л64>
где гD —радиус Дебая:
квТ
ги = '
47ГЄ2По
Асимптотику на бесконечности решения уравнения (1.160) для потенциала одной гравитирующей частицы в однородной среде мы получим, если подставим в (1.160) зависимость a3p = f d3uf от потенциала в виде
а3р = а3ро ехр • (1165)
Такая зависимость плотности числа частиц получается из решения кинетического уравнения (1.159) в квазистационарном случае, когда можно пренебречь зависимостью масштабного фактора от времени. 1.2. Столкновения в мире Фридмана.
67
Подставляя (1.165) в (1.160), переходя в уравнении (1.160) вновь от переменных q к г = aq, получаем для Ф уравнение
ДФ = 4тг<3/>[ехр (""gl) - l] • (1-166)
На больших расстояниях, когда Ф 0 мы можем заменить экспоненту на первые два члена ее разложения в ряд Тейлора по степеням тФ/квТ и получить уравнение
Дф+4^ггф = 0 (11б7)
квТ
Решение этого уравнения, обращающееся в нуль на бесконечности и сферически симметричное, есть
Ф~ - cos—, (1.168)
Г Гд
где
/ квт
9 У AirGpom'
Зависимость потенциала Ф в виде (1.168) при подстановке в выражение для корреляционной функции приводит в уравнении, связывающим одночастичную функцию распределения с двухчастичной функцией (в первом уравнений цепочки, аналогичной цепочки Боголюбова) к сходящимся на бесконечности интегралам. Основной вклад в этот интеграл дают расстояния, меньшие гд , что и позволяет в качестве радиуса корреляции для гравитационно взаимодействующих частиц выбрать гд .
Применительно к расширяющейся модели Вселенной выражение для гд можно выразить через среднюю тепловую скорость и космологическое время.
В расширяющейся Вселенной зависимость плотности вещества от космологического времени для случая, когда средняя плотность вещества во Вселенной равна критической плотности вещества, имеет вид
_ 1 Ро~ QnGt2'
где t—космологическое время. Заменяя также квТ/m на (V2)1 получаем, по порядку величины
rg ~ 68
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
Данные рассуждения, не являясь вполне строгими, обосновывают, тем не менее, применимость принципа ослабления корреляций для системы гравитационно взаимодействующих частиц.
1.3 Релятивистское кинетическое уравнение для гравитационно взаимодействующих частиц
1.3.1 Введение
Для приложения к задачам космологии необходимо знание кинетического уравнения с учетом гравитационных взаимодействий. В рамках ньютоновской теории гравитации для нерелятивистского однородно расширяющегося газа это уравнение получено в [59], [65] (см. также, 1.2.3). Если за время расширения Вселенной произошло большое число столкновений, так что
((V) —средняя тепловая скорость частиц, t —космологическое время, * min —расстояние на котором кинетическая энергия частиц сравнивается с потенциальной энергией взаимодействия), то вид интеграла столкновений для гравитирующих частиц [59] совпадает с видом интеграла столкновений Ландау, полученным в [57] для плазмы. Учет расширения вещества в [59] привел к устранению расходимости интеграла столкновений при больших прицельных расстояниях.
Здесь получено релятивистское кинетическое уравнение для системы частиц, взаимодействие между которыми описывается в рамках общей теории относительности. С помощью введения случайных функций Климонтовича [5] построена цепочка зацепляющихся уравнений на одночастичную, двухчастичную и т. д. функции распределения. Показано, что для получения кинетического уравнения с точностью до членов второго порядка по взаимодействию достаточно воспользоваться линеаризированными уравнениями Эйнштейна и пренебречь трехчастичными корреляциями.
