Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
Интеграл столкновений в виде (1.129) применим также для нерелятивистского газа из гравитирующих частиц, если заменить в (1.129) е2 на Gm2, где G—гравитационная постоянная. Это связано с тем, что нерелятивистские частицы в плазме взаимодействуют по закону Кулона, а в гравитирующем газе—по закону Ньютона. Эти законы совпадают друг с другом с точностью до указанной замены. После этой замены интеграл столкновений (1.129) совпадает с выражением, полученным в [59] (см. формулу (15) из [59]), если зависимость масштабного фактора а взять в виде а = (1/2)аог/2 (нерелятивистская стадия расширения). В случае a = a\rj интеграл столкновений получается из (1.130), (1.131) после замены е2 —> Gm2 и kD -> 0 (гравитационные взаимодействия не экранируются).
В случае релятивистской плазмы из интеграла столкновений (1.128) можно получить следующий результат: в пределе tCT/t -> 0 интеграл парных столкновений совпадает с интегралом столкновений Беляева—Будкера [58].
Для этого применим к интегралу по г в (1.128) метод стационарной фазы, считая большим параметр (1.135). В результате получим
jab = f rfy [ d4 *«МА')2 , (k(v, _ v)) х
C2 J J [lfe2_(kv)2]2 56
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
Ч <ш8)
Уравнение (1.123) совместно с (1.138) совпадает с уравнением Беляева—Будкера [58], записанным в форме Климонтовича [5].
Запишем это уравнение в релятивистски инвариантном виде для восьмимерной функции распределения fa :
„idfQ -L Г dfQ JL6a S Г? ^ „bdfa -
U -Z-J + 1 j.i/c---1--< Pik > U TJ— =
Oqt dpi с dpi
где
Eij(p,p') = 2пе°еьЬпь [(ц,ц')2 - 1
X {-яЛ(«,«О2 - 1I - - uWj + («.«')(«i«j + «5«І)}- (114O)
Здесь (ы, и') — и'(и', (и, и) = щи' ,ит. д. Штрихованные величины относятся к частицам сорта 6, нештрихованные—к частицам сорта a, a L —кулоновский логарифм
_ [к°° dk ~ Jk * '
(1.141)
Tijk—символы Кристоффеля 2-го рода для метрики Фридмана.
1.2.3 Интеграл столкновений в мире Фридмана для гравитирующих частиц
В предыдущем параграфе получено выражение для интеграла столкновений для плазмы в мире Фридмана. Показано, что в пределе tCT/t —>¦ 0 релятивистский интеграл столкновений с учетом кулонов-ских столкновений для плазмы в мире Фридмана совпадает с интегралом столкновений Беляева—Будкера [58]. Здесь tCT—время, в течение которого происходит столкновение, t — космологическое время. В случае, когда параметр tCT/t -> 0 не считается равным нулю, для нерелятивистской плазмы получено следующее кинетическое уравнение:
д-Г- +v" + -f^ ^ = 7Г" E (1-142)
Off dqa с dpa dpa ^ 1.2. Столкновения в мире Фридмана.
57
Здесь Fak—самосогласованное электромагнитное поле, Fa—семимерная функция распределения частиц сорта а, г]—временная переменная в метрике Фридмана, qa—пространственные координаты, (а, /?, 7,... = 1,2,3), Vі = TlikVk, = 1,2,3,4), vk = (ра//?4,1), vk = rfk%Vi > Pa—пространственные ковариантные компоненты импульсов, еа —заряд частиц сорта a ,
—интеграл столкновений частиц сорта a с частицами сорта 6. Выражение для ??6 Ддя нерелятивистской плазмы имеет вид:
Ti1 T
Z-=^Idv I^Idrexp [* / «v' - vW] *
О V
"{(?),4-(?),'.}-
Здесь V—трехмерный вектор с координатами Vot = pQ/maca(Tj), V7—трехмерный вектор с координатами = р^/гпьса^), 0(77) — масштабный фактор в метрике Фридмана
^2 = а2(г7) [с/г/2 - (dq1J2 - (Ж72)2 - (d?3)2] . (1.144)
(1?") —обозначает в (1.143) производную по рр от Fa , в которую
V
вместо аргументов rj, q подставляются аргументы г, q-f J \(T]")dT]u .
т
Аналогично означает, что аргументы 77', q' после дифферен-
цирования по p'? заменяются на г, q-f f v'(rf")drf" .
т
В случае, когда масштабный фактор 0(77) изменяется по закону а = CLiT], т. е. для плазмы на радиационно-доминированной стадии расширения Вселенной [33], выражение (1.143) принимает вид (если пренебречь зависимостью функции распределения от времени и координат внутри области корреляции):
2eIeI Г JS / Г d*k kOkPfI
jiV J
k4 zk(v'-v)77+l 58
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
х 9Jif' длг)
(1.145)
Если выполнить в (1.145) интегрирование по к, то получим: Здесь U = V7-V, U = I U I ,
/с OO
4я- f dk
2А + ЗВ = — у arctg (кщ), (1147)
5=1
U
7Г 1
2 коЩ
- arctg(ArD щ)
1
;a,Tctg(kDurj)
(1.148)
(¦кощ)2
При вычислении интеграла для В верхний предел для к положен +оо, поскольку этот интеграл сходится на бесконечности. Нижний предел для к положен отличному от нуля значению ко , несмотря на то, что интеграл сходится в нуле. Этим учитывается экранирование электромагнитных взаимодействий на расстояниях, больших, чем радиус Дебая /р
Id
Ч
е
Ane2N ко
(1.149)
(0—температура в эргах, N—плотность числа частиц).
Для величины 2 А + З В получен интеграл, логарифмически расходящийся на +оо, но сходящийся в нуле. В качестве Ar00 следует взять значение [57]
Ar00 = - = а®. (1.150)
Tmin Є
Масштабный фактор в (1.149) и (1.150) введен по той причине, что электромагнитное поле раскладывалось по гармоникам exp(fkq). Поскольку пространственные расстояния в метрике Фридмана измеряются величиной aq, измеряемый волновой вектор есть не Ar, а к/a .
