Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
О
X exp{-ik(q-q!))^\r1,r1',p'b,k)plpmAjigab(x,x'), (1.231)
= Wi / d4pbIrf3q"/ rf3k Г ^"exp[-ik(q-q")]x
X п№(п,ч",р",к)р1рт^jifa(X)fb(x') Ids"t(x"-xb(s"/x')). (1.232)
При получении (1.231), (1.232) полагалось, что х' ф xa(s/x), т.е. не находится на траектории частиц сорта а , проходящей через точку фазового пространства х.
Ввиду малости взаимодействия траекторию частицы сорта 6 под интегралом по Sff в (1.232) можно считать геодезической в мире Минковского:
р\ь)(8"/х') = р[ =COHSt,82
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
Чь(тґ'/х') = q' + (^Q у - ЧІМ'!*') = Ч".
где
, fu'b\ ( , (I ,2 ,3v
У = cWgJ ' ub = {ub,ub,ub).
Интегрируя в (1.232) по получим
В уравнении (1.233) для даь{х,х') в левой части мы положили Tijk = 0 , так как-внутри области корреляции мы условились считать коэффициенты gij постоянными.
Решение этого уравнения имеет вид
Здесь индекс т означает, что после вычисления производной по рг-мы должны аргументы т], q, заменить на величины г, q-f v(r — г))/с.
Решение (1.234) учитывает лишь влияние траектории частицы Ь на частицу а. Обратное влияние учитывает решение уравнения, полученного из (1.232) заменой а о 6 и х х'. Это решение получается из (1.234) той же заменой. В правую часть (1.231) нужно подставить сумму этих решений. В результате мы получим искомое релятивистское кинетическое уравнение с точностью до членов второго порядка малости по взаимодействию.
Для получения уравнения, являющегося аналогом кинетического уравнения Беляева—Будкера [58] для релятивистской плазмы, рассмотрим случай столь медленного пространственно-временного изменения функции распределения, что ее можно считать постоянной в области корреляции. В этом случае в выражениях (1.234) и (1.231) при вычислении интегралов по q', rf , г , т' можно пренебречь зависимостью fa и fb от координат и времени. После интегрирования по
даЬ(х,х') = J d3k' j^[~.{plpm Aijfa(X))]
T
X
X e*p[-«k'(q - q') + - (k'v)fa - r) + -(k'v')(r' - I1')). (1.234) с C1.3. Гравитационные взаимодействия в ОТО
83
q' и к' мы приходим к следующему уравнению на fa {fa — fa{Ql ,Pj),
Л = Zbfat",^)):
где
і 9fa , р і fc З/а _ 9 ^ аЬ /?ь = (2п)3пь J d% J d3k J" (T1, Vі, р'ь, VptpmAjl
X ехр [ - ^(kv)(?7 - r) - i(lcv')(r' - »7')] + X ехр [ - i(kv)fo - г) - J(kv')(r' - 7?')]}.
(1.235)
(1.236)
Перейдем к семимерной функции распределения, зависящей от координат и пространственных компонент ра импульса:
nafa(x) = Ра(Ч\ра)8((9тр^12 - ШаС). (1.237)
Уравнение для Fa получается из (1.235) после интегрирования обеих частей по ро ¦ Интегрирование следует провести также по р'0 в (1.236).
Учтем тождество
[^pt Ark(Irt^Fa)
= P
Здесь В левой части при вычислении производной ПО Pk все компоненты pi считаются независимыми и только затем учитывается зависимость ро = (m2c2 + p2)1/2 . В правой же части (1.238) эта зависимость учитывается до вычисления производных по пространственным компонентам Pa импульса.
Используя (1.238) получаем кинетическое уравнение на Fa:
JdFa _l г J^dFa d
dpa dpa
(1.239)84
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
где
Jf = (2ж)3 J d3p'b J d3к J" drj'x
J, р', VP1PmAji(U10U0)-1X J f г Є (P5PtArffFg^ і Г dr> {b) , ,
X ехр [-(kv)(r - Г?) + -(kv')(r?' - г')] +
с с
Ґ
/ dr'
J —со
+
_д_ (р"р'1К0РС
др'в I
Po
Faf к);
г1 У_оо ^u
X ехр
[i(kv)(r- T,)+%-(kv')(Tf -г')]}. (1.240)
Теперь остается только подставить выражения (1.217)—(1.222) для к) в (1.239) и провести интегрирование по г, г', 77'. Кинетическое уравнение принимает вид
JdFa dF!\
(1.241)
где
Ea0 = 2 G2(p°p'0)2
^2 л 2
V2 v'2 „ (VV') V V2 IH---1---4і-----h
C2 C2 C2 с2 +
+ 2 J d3kkak?[k2c2 - (kv)2]-2J(kv - kv'). (1.242)
Уравнение (1.241) с ядром (1.242) очень похоже на уравнение Беляева—Будкера [58] в представлении, полученном в [5]. Отличие заключается лишь в том, что множитель (ес)4(и'и\)2 (см. [5], формула (22) ) в ядре Ea? заменяется на множитель
G2(p°p'0)2(u°u'0)2
V2 v'2 (vv') V2Vt2 (vv')212
H—г H—»— 4^—--т,—1-2--^-I
с2 ' с2
Ci сй С
который можно представить в виде
G2Ii(UiU1i)(^P1j)-(UiPi)(Ub1j)]2.
(1.243)1.3. Гравитационные взаимодействия в ОТО
85
Причину отличия нетрудно понять, если заметить, что электромагнитные поля порождаются 4-вектором тока частиц, который пропорционален интегралу по импульсам от функции распределения, умноженной на 4-скорость Ut. Гравитационные поля в общей теории относительности порождаются тензором энергии—импульса, пропорциональным аналогичному интегралу от функции распределения, умноженной на ului Вследствие этого в члене второго порядка малости по взаимодействию (каковым является интеграл столкновений) квадратичная функция UtUti от скоростей сталкивающихся частиц заменяется ПОЛИНОМОМ четвертой степени ОТ переменных Ut, Uj . Кроме того, представляется естественным, что квадрат электрического заряда е2 заменяется на Gp°pf0/c2 , так как р°/с есть релятивистская масса частиц.