Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Захаров А.В. -> "Макроскопическая гравитации" -> 22

Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.

Захаров А.В. Макроскопическая гравитации — М: Янус-К, 2000. — 284 c.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка): makroskopgravitaciya2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 73 >> Следующая


О

X exp{-ik(q-q!))^\r1,r1',p'b,k)plpmAjigab(x,x'), (1.231)

= Wi / d4pbIrf3q"/ rf3k Г ^"exp[-ik(q-q")]x

X п№(п,ч",р",к)р1рт^jifa(X)fb(x') Ids"t(x"-xb(s"/x')). (1.232)

При получении (1.231), (1.232) полагалось, что х' ф xa(s/x), т.е. не находится на траектории частиц сорта а , проходящей через точку фазового пространства х.

Ввиду малости взаимодействия траекторию частицы сорта 6 под интегралом по Sff в (1.232) можно считать геодезической в мире Минковского:

р\ь)(8"/х') = р[ =COHSt, 82

ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО

Чь(тґ'/х') = q' + (^Q у - ЧІМ'!*') = Ч".

где

, fu'b\ ( , (I ,2 ,3v

У = cWgJ ' ub = {ub,ub,ub).

Интегрируя в (1.232) по получим

В уравнении (1.233) для даь{х,х') в левой части мы положили Tijk = 0 , так как-внутри области корреляции мы условились считать коэффициенты gij постоянными.

Решение этого уравнения имеет вид

Здесь индекс т означает, что после вычисления производной по рг-мы должны аргументы т], q, заменить на величины г, q-f v(r — г))/с.

Решение (1.234) учитывает лишь влияние траектории частицы Ь на частицу а. Обратное влияние учитывает решение уравнения, полученного из (1.232) заменой а о 6 и х х'. Это решение получается из (1.234) той же заменой. В правую часть (1.231) нужно подставить сумму этих решений. В результате мы получим искомое релятивистское кинетическое уравнение с точностью до членов второго порядка малости по взаимодействию.

Для получения уравнения, являющегося аналогом кинетического уравнения Беляева—Будкера [58] для релятивистской плазмы, рассмотрим случай столь медленного пространственно-временного изменения функции распределения, что ее можно считать постоянной в области корреляции. В этом случае в выражениях (1.234) и (1.231) при вычислении интегралов по q', rf , г , т' можно пренебречь зависимостью fa и fb от координат и времени. После интегрирования по

даЬ(х,х') = J d3k' j^[~.{plpm Aijfa(X))]

T

X

X e*p[-«k'(q - q') + - (k'v)fa - r) + -(k'v')(r' - I1')). (1.234) с C 1.3. Гравитационные взаимодействия в ОТО

83

q' и к' мы приходим к следующему уравнению на fa {fa — fa{Ql ,Pj),

Л = Zbfat",^)):

где

і 9fa , р і fc З/а _ 9 ^ аЬ /?ь = (2п)3пь J d% J d3k J" (T1, Vі, р'ь, VptpmAjl

X ехр [ - ^(kv)(?7 - r) - i(lcv')(r' - »7')] + X ехр [ - i(kv)fo - г) - J(kv')(r' - 7?')]}.

(1.235)

(1.236)

Перейдем к семимерной функции распределения, зависящей от координат и пространственных компонент ра импульса:

nafa(x) = Ра(Ч\ра)8((9тр^12 - ШаС). (1.237)

Уравнение для Fa получается из (1.235) после интегрирования обеих частей по ро ¦ Интегрирование следует провести также по р'0 в (1.236).

Учтем тождество

[^pt Ark(Irt^Fa)

= P



Здесь В левой части при вычислении производной ПО Pk все компоненты pi считаются независимыми и только затем учитывается зависимость ро = (m2c2 + p2)1/2 . В правой же части (1.238) эта зависимость учитывается до вычисления производных по пространственным компонентам Pa импульса.

Используя (1.238) получаем кинетическое уравнение на Fa:

JdFa _l г J^dFa d

dpa dpa

(1.239) 84

ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО

где

Jf = (2ж)3 J d3p'b J d3к J" drj'x

J, р', VP1PmAji(U10U0)-1X J f г Є (P5PtArffFg^ і Г dr> {b) , ,

X ехр [-(kv)(r - Г?) + -(kv')(r?' - г')] +

с с

Ґ

/ dr'

J —со

+

_д_ (р"р'1К0РС

др'в I

Po

Faf к);

г1 У_оо ^u

X ехр

[i(kv)(r- T,)+%-(kv')(Tf -г')]}. (1.240)

Теперь остается только подставить выражения (1.217)—(1.222) для к) в (1.239) и провести интегрирование по г, г', 77'. Кинетическое уравнение принимает вид

JdFa dF!\

(1.241)

где

Ea0 = 2 G2(p°p'0)2

^2 л 2

V2 v'2 „ (VV') V V2 IH---1---4і-----h

C2 C2 C2 с2 +

+ 2 J d3kkak?[k2c2 - (kv)2]-2J(kv - kv'). (1.242)

Уравнение (1.241) с ядром (1.242) очень похоже на уравнение Беляева—Будкера [58] в представлении, полученном в [5]. Отличие заключается лишь в том, что множитель (ес)4(и'и\)2 (см. [5], формула (22) ) в ядре Ea? заменяется на множитель

G2(p°p'0)2(u°u'0)2

V2 v'2 (vv') V2Vt2 (vv')212

H—г H—»— 4^—--т,—1-2--^-I

с2 ' с2

Ci сй С

который можно представить в виде

G2Ii(UiU1i)(^P1j)-(UiPi)(Ub1j)]2.

(1.243) 1.3. Гравитационные взаимодействия в ОТО

85

Причину отличия нетрудно понять, если заметить, что электромагнитные поля порождаются 4-вектором тока частиц, который пропорционален интегралу по импульсам от функции распределения, умноженной на 4-скорость Ut. Гравитационные поля в общей теории относительности порождаются тензором энергии—импульса, пропорциональным аналогичному интегралу от функции распределения, умноженной на ului Вследствие этого в члене второго порядка малости по взаимодействию (каковым является интеграл столкновений) квадратичная функция UtUti от скоростей сталкивающихся частиц заменяется ПОЛИНОМОМ четвертой степени ОТ переменных Ut, Uj . Кроме того, представляется естественным, что квадрат электрического заряда е2 заменяется на Gp°pf0/c2 , так как р°/с есть релятивистская масса частиц.
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 73 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed