Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
d4p
/
по любому объему импульсного пространства от произвольной скалярной функции Ф(х,р). При преобразовании координат х1 — x*(xk ) импульсы преобразуются по закону Pt = (дхк /дх 1)рк' • Поэтому (дрі/др^і) = (дхк /дх1) и якобиан перехода от импульсов р к р' равен:
С другой стороны, компоненты метрического тензора преобразуются по закону
дхк дх1
9t> = TFJ^9k'1'- 38
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
Поэтому
д = det(^j) = J2 д\ следовательно у/—д = Jyj—д'. В результате
Для доказательства инвариантности элемента объема d^p/yf^gp4 трехмерного импульсного пространства вычислим якобиан преобразования от ковариант-ных компонент импульсов pa к пространственным ковариантным компонентам p'Q импульса в новой системе координат:
Эх*' дх?' дх4'
dpa _ дх&' ^ дх4' др4/
dp?i dxa dxQ dp?i Производную от р4/ находим, дифференцируя соотношение нормировки 9х 3 Pi'Pj' = Tn2C2 :
dp4i _ p? dp?i р4'
Поэтому компоненты матрицы (dpQ/dp?t) имеют вид:
dpa _ дх*3' р0' дх4' dp?i dxQ р4' dxQ
Определитель этой матрицы, взятый по модулю, есть якобиан преобразования Js ОТ импульсов Pa к Pa' . Матрица
_ dxQ pQ дх4
P dx?' р4 dx?'
является матрицей, обратной к предыдущей. Модуль ее определителя равен 1/</з.
Имеем
d3p J3 d3p'
Vz^P4 Jp4
Докажем равенство
I - 1 P4 J ~ Js P4' '
Действительно, величина 1/J равна модулю определителя
дха дха
дх& д^ дх4 дх4
дх& дх4'
Здесь в левом верхнем углу находится трехмерный блок. fд у —столбец,
ОXя
§2---строка. Верхние индексы нумеруют строки, нижние—столбцы.
дх 1.1. Релятивистская кинетическая теория
39
Умножая первый столбец на р1' /р4' , второй на р2' /р4' , третий на р3' Ip4' и прибавляя полученную линейную комбинацию столбцов к четвертому столбцу получим определитель, равный исходному:
?21 dxQ /
dxQ дха і p' ox-
дхР' дх4' р4' дх~і'
дх4 дх4 , р1' дх4
дх& дх4' р4' дхі'
Далее, при каждом а вычтем из строки с номером а последнюю, умноженную на Pct/р4 . Получим:
Щ> о
дх4 BxPf
SL
Очевидно, что данный определитель равен (р4 /J3P4') > что и требовалось доказать.
В результате
d3p _ d3p' ^P4 ~ yf^P4'' 2. Для любой скалярной функции ф(х) имеем:
J ф(х'')&4{х1' -Xi^d4X1 = ф(х>'). J ф(х{')54(х'- X^jd4х' = = J ^(xt'(xk))S4(xt-xim)d4x = ^(xi'(xfn)) = ^(*;i,)-
Сравнивая эти два тождества, заключаем, что обобщенные функции
"arJi)) и — j^(Z)) совпаДают> если ^t =^t (я*)» = х(г)(x^t)
Аналогично,
S4(p,> -Pi31)) = JS4(р,-P1?),
где
дх' (!) _ дх' (1)
Py =
дх3' В результате
- - р{')) = «V - *{„)«4(р, - р<°)
3. Выполним необходимые вычисления:
дх> Vk 13 dPk 9 dpk 1
Тогда
і?+W1 ir^=Pl +т>із3'+rb5j,)=р,3':- 40
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
Но ковариантная производная от метрического тензора равна нулю [6]. Тождество (1.17) доказано.
4. Воспользуемся выражениями (1.57) и (1.60) для FnW. В локально
лоренцевой системе центра импульсов й р = —Р(і) , P4 = Р(і) = Vm 2°2 + P2 »
F = 2 I р I yjm2c2 + р2 , S = 4(m2c2 + р2). Поэтому в выбранной системе отсчета
- [f n' Vm2g2+ P2,тсЗГп/ D/ w
-Jd P J d р (1) ( р ! <т5 (р -Р(,))х
XA(24/m2c2+p2_p'4-p'(1)).
После интегрирования по p'(i) и перехода к сферическим координатам в пространстве импульсов р'
f f { , I P' I2 JTn2C2 +1
da = du d I р; I ' V-і
J JJ I P I (m c2 + P 0
Xa8(yjm2c2 + p2 - Jm2C2 -f p/2) Вычислив интеграл по | p' |, получаем
P2
da = J d?la(s, 9).
5. Выберем локально лоренцеву систему отсчета в точке х пространства— времени таким образом, чтобы в этой точке выполнялись равенства ux = Sxa , gij =7Hj . В этой системе отсчета функция распределения зависит только от
Р4 = \JTn2C2 -f P2 . Поэтому
= О, Tl40 = J d3pfa,
T44 = сI d3 Pp4 fa, TSl4=O,
T:? = cf?pp°p?fa=is°efd^\p\>fa.
J P4 3 J P4
Ковариантной записью этих соотношений являются формулы (1.91)—(1.93), где скаляры n0 , єа , Pa находятся по (1.94)—(1.96). Ввиду тензорного характера этих равенств, последние справедливы в любой системе отсчета.
6.
Аттт2асквТ ( Pa \ I тпас2 \
По= (2^)3 expI^rJ *2 [Т^г)'
Со = { TnaC2 jt^y ^a( = зквТ \па, (za = v^t )» 1.1. Релятивистская кинетическая теория 41
Pa - k?Tna. Здесь K\(z) и K2(z) - функции Кельвина:
с»
При Za > 1
з
ff0 = n0(m0c2 + -kBT)\ Pa = nakBT < e0.
При za < 1
Єа — ЗкдТтіа — ЗРа• 42 ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
1.2 Интеграл столкновений в мире Фридмана
1.2.1 Введение
В данном и последующих параграфах этой главы приводится динамический вывод релятивистских кинетических уравнений для релятивистской системы взаимодействующих частиц в рамках общей те-ориии относительности.
Начинаем мы с вывода кинетических уравнений для полностью ионизированной плазмы в пространственно-плоском мире Фридмана.
С помощью введения случайной функции получена цепочка уравнений для релятивистских функций распределения заряженных частиц в изотропном пространственно-плоском мире Фридмана. Полученная цепочка используется для вывода релятивистского кинетического уравнения с учетом влияния на акт столкновения гравитационного поля.
