Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
(1.89)
Функция (1.87) или (1.89) в квантовом случае называется локально-равновесной функцией распределения. В локально-равновесном состоянии обращается в нуль прирост энтропии (см. [13]).
Если отождествить Т(х) с температурой системы, /іа(я) с химическим потенциалом, то воспроизводится обычная схема термодинамики (см. [13]).
Для того, чтобы функция (1.87) или (1.89) в квантовом случае описывала состояние глобального равновесия, необходимо, чтобы она обращала в нуль и левую часть кинетического уравнения:
PiVifa(X1Pa)= 0.
fa =
9 a
(2тг ft)3
exp
(-Pa + CUjPta \ a 1.1. Релятивистская кинетическая теория
35
Подставляя в это уравнение (1.87) или (1.89), получаем условия на
Ha VI С = CUiZkeT:
jr = const, 0. (1.90)
Следовательно вектор должен быть вектором Киллинга риманова пространства. Здесь, наряду с V,-, мы используем точку с запятой для обозначения ковариантной производной по Риччи.
Если глобальное равновесие в системе не установилось, но в кинетическом уравнении интеграл столкновений является большой величиной по сравнению с членами в левой части (1.62), то функция (1.87) или (1.89) является приближенным решением кинетического уравнения. Зависимость /іа , Т, и% от координат и времени определяется в этом случае из законов сохранения (1.76), (1.80), (1.81).
Такое состояние системы называется состоянием локального термодинамического равновесия. Для системы, находящейся в состоянии локального термодинамического равновесия, потоки числа частиц Tita , тензор энергии—импульса Ttj и токи Jtq находятся из (1.77), (1.78), (1.82) при подстановке в них функций (1.87) или (1.89). Общая структура этих величин следующая:
K=TiaUi1 (1.91)
^ = SflfaHatl', (1-92)
a
Tij = = E + = (?+P)uV-P<^, (1.93)
a a
где u% —макроскопический 4-вектор среды (гидродинамическая скорость) , присутствующий В формуле ДЛЯ fa .
na , є, P—скалярные функции: па—плотность числа частиц сорта a., еа —плотность энергии частиц сорта a , Pa —парциальное давление, Yl^afia—плотность заряда частиц сорта a, є = Yle* —
а а
суммарная плотность энергии, P = ^Pa—суммарное давление.
а
Формулы для вычисления еа , па , Pa получаются из (1.91)— (1.93) путем их свертки с вектором щ и тензорами , gij — U{Uj :
Па = ЩП[ = J -^^(uiPUfa, (1.94) 36
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
ea = UiUiTiJ = с J (1.95)
Pa = I(UiUj-Sij)Tii = Съ J -^[(UiP'0)2 - mlc2]fa. (1.96)
Вычисляя эти интегралы получим зависимость Tla , Sa , Pa ОТ /іа и T.
В результате состояние локального термодинамического равновесия полностью описывается химическими потенциалами /іа, температурой T и гидродинамической скоростью Ut. Последние находятся из законов (1.76), (1.82) в случае нереагирующей смеси, либо из (1.80), (1.82) в случае реагирующей смеси. В последнем случае независимых химических потенциалов меньше, чем число сортов, что следует из (1.88). Однако их столько, сколько законов сохранения вида (1.80).
Законы сохранения при подстановке в них явного вида для токов и тензора энергии—импульса дают нам уравнения гидродинамики идеальной жидкости:
а) нереагирующая многокомпонентная жидкость:
(Hetii);,- = 0, (1.97)
+ = 0; (1.98)
б) реагирующая многокомпонентная жидкость
(P4Ui)ti= 0, (1.99)
[(е + P)tiV - Pgij] = 0, (1.100)
где Pq = qana - плотность заряда q .
a
В частности, один из "зарядов" q для всех частиц равен 1. Тогда Pq —полная плотность числа частиц. Число законов сохранения вида (1.99) столько же, сколько законов вида
Яа + Яь = Яс + Я(1
выполняется при реакциях вида а + Ь = с + d.
После нахождения зависимости гидродинамических величин па , Pq , є, P от /ід , T из соотношений (1.94)—(1.96) при подстановке в 1.1. Релятивистская кинетическая теория
37
последние fa в виде (1.87) либо (1.89) получаем замкнутую систему уравнений на функции ^a , T, иг.
Приближением, противоположным приближению локального термодинамического равновесия, является бесстолкновительное приближение, которое используется, если интеграл столкновений является малой величиной. Последнее выполняется либо при малых дифференциальных сечениях рассеяния, либо при достаточно малых плотностях. При пренебрежении интегралом столкновений в кинетическом уравнении мы приходим к модели вещества, описываемой бес-столкновительным кинетическим уравнением
PiaVifa(XiPa) = о.
Приближение локального термодинамического равновесия и бесстолкновительное приближение наиболее часто используются для описания поведения вещества в космологии.
УПРАЖНЕНИЯ
5. Доказать, что в состоянии локального термодинамического равновесия поток числа частиц n*a , ток J® и тензор энергии—импульса Ttj имеют вид (1.91)-(1.93).
6. Выразить через химические потенциалы и температуру плотность числа частиц, плотность энергии и парциальное давление для каждого сорта частиц в локально термодинамическом равновесии. Рассмотреть нерелятивистский mac2 k?T и ультрарелятивистский mac2 k?T пределы.
1.1.10 Ответы и решения
1. Докажем инвариантность выражения для интеграла
