Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
- *Vb - ^k2Ifib + A6) - ц"ь + 2ікф'щ = XmbC2(U1b)2Фь, (1.203)
К - \k2{?b + A6) - к2<рь + 2ікф'щ = Xmbc2 ((u'l)2 - 3(«'ь2ц)2) Фь.
(1.204)
2. Векторные возмущения
2k2$bj_ + ік<т'ь = Axmbc2u'°bu' ы_Фь, (1.205)
a>l - 2гкф'ЬІ_ = 4Xmbc2и'щи'ЬІ_Фь. (1.206)
3. Тензорные возмущения
v'< + jSr2JZ6 = 2хтьс2(и'ы)2Фь., (1.207) 1.3. Гравитационные взаимодействия в ОТО
77
Система уравнений (1.201)—(1.204) для скалярных возмущений допускает следствия
(Ul0b)2^--ікп'Іп'щФь = 0, (1.208)
- г*(и'1УЬ||)2Фь = 0. (1.209)
Эти следствия есть не что иное, как закон сохранения TtJ = 0. Вследствие (1.208), (1.209) решения системы (1.201)—(1.204) определяются с точностью до двух произвольных функций. В частности, мы можем положить
A6 = O, фъ\\ = 0. (1.210)
Тогда
Зхтьс2
SxmbC2 ,2, Г . /х/ , , *! «,= к2 иьФь = J dt] S(rj + є-ri-
le2
X (u'l)2Mri\Ч',Рь), (1.211)
^6 = " /I dV'S(V' + €2P5" + (<)2 " ЗКб||)2) X
хФб Ы,ч',Рь)- (1-212)
Здесь Є —> 0, Г] = Ct.
Аналогично, система (1.205)—(1.206) для векторных возмущений допускает следствие
,о , дФъ , , , Л и bu 61-^- - гки 6ци 61Ф6 = 0,
поэтому решения системы (1.205)—(1.206) определяются с точностью до одной произвольной функции. Положим
<ть = 0, (1.213)
тогда
Фь± = fJiS^ + е-^-^-и'Іи'ьМІ^^). (1.214) 78 ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
Решение уравнения (1.207) запишем в виде
= J' drfMbtf - ч)](«'бх)2Фь(»Лч',р;). (1-215)
Вычислим величины Щк, стоящие в правой части уравнения (1.180):
fiOO = \ч>', ^Oa = О, n°a? = ^(h'a? + $<*,? + $?,c),
«oo = \ч>'° - Ф'а, K? = \h'a? + \m'a - \(ГМ
= -\((h?yYa - {h?)n - (ЦМ-
Подставляя <?>, фа, ha? в виде (1.188)—(1.190), используя разложения (1.199), (1.200) и решения (1.210)—(1.215), получим для Щк следующий результат:
= ? J d4Pb J d3q'J d3к J^oo drf ехр[—ik(q — q')] x
X (Iij^Hr,, г/,^,1с)ФьЫ,ч',р'ь), (1-216)
где величины 77', р'ь, к) имеют вид
= ((u'°)2+(u'b)2 - 3(u'6||)2)w+е - (L217)
= щ0»ік* ((и'°)3+{u'b)2" 3(u'b||)2)w+е"(L218)
= 2Pyt { - (" ь)2^ - + ^(»,fc.Jf'JfW+
+ 2к2cos[k(t]' - 4)](«'(»)i)2Q'S}, (1-219)
«оГ = ((«'ь)2 + («'ь)2 - 3(«'ь||)2)
+ (1.220) 1.3. Гравитационные взаимодействия в ОТО 79
Хтьс2 2(2*)3*2'
= St{ - (u'°)2<^' - 2i(k°sM - bS'^WUb^S+
+ 2*2 cos[k(tf - Г7)](«'(6)і)20^(6)}, (1.221)
°ЙЬ) = 2Wf&{i{u'°b)2{Sl3-ika - ^ - W"
- 2iksm[k(V' - лЖи'шПЯ'ЧУ - Q'fb)ky - Q'?b)k?]}. (1.222) Здесь ?
S = Stf + є-v), S'= 4-5(т,'+ є-ri), є -+0.
arj
1.3.4 Кинетическое уравнение
Подставим (1.216) в (1.180):
X ехр[—ik(q - »/, P^, k)pV" AjiJV0 (*)<M*')- (1-223)
Здесь и ниже совокупность всех переменных (77, q, р) будем обозначать через ж, а аналогичную совокупность (77', q', //) —через ж'. Импульсы pj, переобозначим просто как р', а р"ь через р". Усредним (1.223) по совокупности систем [5]:
MNa(X)) nkd(Na(x)) _
P —dj- + IWp —fc---
= ^-E / d*Pb I A'/ fjr,'exV[-ik(q-q')}x
X n^W-P^P^W*^'))- (1.224)
Умножая (1.223) на Фb{xf) и усредняя, получим
P1 А^в(х)фь(а.')) + Гі ,^pfc ~<JVe(x)®b(x')> =
= |тЕ/ d4Pbj dV'/ ^k ^^"exp[-ik(q-q')]x 80 ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
X ^)(r},r},,,plk)plpmAji(Na(x)9b(x')9c(x'')). (1.225)
Уравнение (1.225) есть уравнение на второй момент (Na(x)Nb(xf)). Другое уравнение на этот момент получается из (1.225) заменой а
Введем одночастичную, двухчастичную, трехчастичную и т. д. функции распределения:
(J dsS(x - Xa(S))) = /«(*),
(J dss(x-xa(s)) I ds'6(x' - Xb(Sf))) = fa b{x,x'), (J ds8(x - xa(8)) J dsfS(x' - x6(«')) J ds"8(x" - Xc(Sn))) =
= Iabc(XiXf1Xff).
Здесь, как и ранее, используется обозначение
6(х - xa(s)) = S4W - qi(s))S4(Pj - p?(s)).
Для моментов случайных функций справедливы формулы [5]:
(Na(X)) = Uafa(X)1 (1.226)
(Na(x)Nb(xf)) = (папь - па6аЬ) fa б (ж, Xf)+
+ TiaSab fa(x) J dsfS(xf - xa(sf/x)), (1.227)
(Na(x)Nb(xf)Nc(xff)) = (UaTibTic - UaTibSac - nanbSbc--nancSab + 2naSabSbc)fabc(x, xf, xff)+
+(nanc - naSac)Sabfac(x,x") J dsfS(xf - xa(sf/x))+ +(nanb - naSab)Sacfab(x,x) J ds"S(x" - xa(sff/x)) + +(TiaTib - naSab)Sbcfab(x,xf) J dsffS(xff - xb(s"/xf))+ + naSabSbcfa(x) J ds'S(xf -xa(s'/x)) J ds"S(x" -xa(s"/x)). (1.228) 1.3. Гравитационные взаимодействия в ОТО
81
Здесь xa(s/x) обозначает траекторию частицы, проходящую через точку фазового пространства х .
Учитывая связь Na с Фа (Фа = Na- nafa) и имея ввиду, что fa не случайная функция, нетрудно получить выражения для средних
(ЛГ«(*)Ф6(*')>, Шх)Фь(х')Фс(х")).
Подставив (1.226)-(1.228) в (1.224), (1.225) и аналогичные уравнения, получим бесконечную цепочку зацепляющихся уравнений на функции распределения fa,fab,fabc и т. д. . Для получения кинетического уравнения на одночастичную функцию распределения /а с точностью до членов второго порядка малости по взаимодействию оборвем цепочку, полагая
fab(x,x') = fa(x)fb(x')+gab(x,x'), (1.229)
fabc(x, х', Х") ~ fa(x)Mx')fc(x"). (1.230)
В результате имеем приближенную систему на fa(x) и даь{х'х') при па » 1:
