Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
Отметим, что интеграл кулоновских столкновений для нерелятивистской плазмы получен Ландау [57]. Обобщение для релятивистской плазмы получено Беляевым и Будкером [58]. Для более детального исследования процессов, происходящих на радиационно-домини-рованной стадии расширения Вселенной, необходимо знание интегралов столкновений, в частности, интеграла кулоновских столкновений на фоне метрики Фридмана.
В данном параграфе получен интеграл кулоновских столкновений в мире Фридмана с учетом влияния на акт столкновения гравитационного поля [64]. В пределе tCT/t —> 0, где tCT—время, в течение которого происходит столкновение, t—космологическое время, этот интеграл переходит в интеграл столкновений Ландау (для нерелятивистской плазмы) или Беляева—Будкера (для релятивистской плазмы).
При tcT/t ф 0 интеграл столкновений для нерелятивистской плазмы не совпадает с интегралом столкновений Ландау. Максвеллов-ская функция распределения не обращает полученный интеграл в нуль.
В пределе нерелятивистских скоростей интеграл столкновений совпадает с интегралом столкновений Ландау только в том случае, если положить равным нулю параметр tcT/t. 1.2. Столкновения в мире Фридмана.
43
Учет расширения Вселенной устраняет логарифмическую расходимость интеграла столкновений на больших прицельных расстояниях. Для газа из нерелятивистских гравитирующих частиц этот факт установлен в [59]. Интеграл столкновений не содержит расходимо-стей при больших предельных расстояниях, что позволяет применить после замены е2 на Gm2 интеграл столкновений для нерелятивистской плазмы к нейтральному газу из гравитирующих частиц.
1.2.2 Кинетическое уравнение для плазмы
При получении интеграла столкновений в мире Фридмана используется метод Климонтовича, который в работах [5] получил интеграл столкновений (Беляева—Будкера) для плазмы в пространстве Мин-ковского.
Введем случайную функцию восьми переменных, а именно, четырех координат qг и четырех ковариантных компонент Pj импульса, для частиц сорта a :
= Е /dsS^qt-ql^sW*(Pj -P^(S)). (1.101)
Z=I J
Здесь Tia—число частиц сорта a., S4(q*)—четырехмерная дельта функция, ds ~ \/gijdq%dqj , s—канонический параметр вдоль траектории частиц, ql^yP^P—координаты и импульс 1-й частицы сорта a, которые определяются из уравнений движения:
<%) _ P\i)
ds rna с
JO
(1.102)
dvK4 1 е
-?" = + fMo- (1Л03)
Здесь Ut = рг/mac—четыре-скорость, gij—метрика внешнего гравитационного поля (в данном случае метрика Фридмана),д{ обозначает частную производную по g*, еа—заряд частиц сорта а, с — скорость света, Fik —тензор электромагнитного поля. Поднимание и опускание индексов производится с помощью метрики gij .
Выражение (1.101) является скаляром. С помощью (1.101) вектор тока частиц сорта а подсчитывается по формуле:
Jta = еас J ^jaNaiqitPi), (1-104) 44
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
где
d4pa
—есть инвариантный объем в четырехмерном импульсном пространстве, д—определитель метрики д^ .
Уравнение для случайной функции TVa(д, р) следует из определения (1.101) случайной функции и уравнений (1.102), (1.103):
idNa , і , ea \ kdNa Л (л 1ЛК*
u W + \2 + т J u ж = (1105)
Тензор электромагнитного поля Fik в плазме находится из уравнений Максвелла:
^ = -Eji- f^) = 0- (1Л06)
a
В пространственно-плоской метрике Фридмана (q4 = 77) ds2 = a2(»j) (^2-(V)MV)2-(<<<73)2) уравнения (1.105) и (1.106) принимают вид (a' = da/drj) O2Ai
Зі)2
= UiNa(q,p)d3p, (1.107)
{dNa a' k dNa ea _ kdNa л /1 1АОЧ
^1-T-T + -up* IT- + —ЯлУ-5— = L108
a с Opi
Здесь —векторный потенциал электромагнитного поля , удовлетворяющий нековариантному калибровочному условию
T)kmdkAm = 0, (1.109)
—тензор Минковского, = d{Ak — dkAi. Уравнения (1.107) совместно с (1.109) совпадают с уравнениями Максвелла в специальной теории относительности (СТО) (см. [4]). Решение с запаздывающими потенциалами для Ai имеет вид:
а ( \ V^ f "'Ml''*!- I q-q' ІРі) ^ ^t
АікЧуі) = / / "17-і-ТТЛ-Tld P d ^ •
n J a q-q q-q 1.2. Столкновения в мире Фридмана. 45
Представим это решение в форме (к =| к |)
Мч,п) - L 2^ J d* J d P —Щ—*
г </3к
X / — exp(-ik(q-q')) sin k(r] -77,). (1.110)
Подставляем (1.110) в (1.105):
dNa о! к dNa ST^ f ,з , f л , 1
dqJdp^x
ж q\p')Nb(n',^,p')ukdNa(^'p) = 0. (1.111)
Здесь введено обозначение:
L?k(V - V'> Ч~Ч',Р') =
2тгс / IT ЄХР ~ q'))sin fc^ - Ч')) "
- А (t»{ exp (-ik(q - q')) sin *(<} - ff)) }• (1.112)
eae6 f d3к f 9 і
_d dqi
Усреднив (1.111) по траекториям частиц, получим
X (1Л13)
Здесь через ж обозначена совокупность всех восьми переменных q1 и Pj .
Умножая (1.111) на А^(ж') и усредняя, получим
Ui-^r(Naix)Nbix')) + a-ukpk^-(Naix)Nbix'))+
+ ? ?V/A"/dV^y^^-V'.q-q",?'')«^ 46
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
л
X -(Na(X)Nb(Xt)Nc(Xtt)) = 0. (1.114)
OVx
Другое уравнение для второго момента получится из (1.114) заменой
a b,x f* Xt.
В дальнейшем будем использовать обозначение
6(х - Xa(S)) = S*(q' - 9(.)(*))*4(Pj - P^(S)).
