Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
Введем одночастичную, двухчастичную, трехчастичную и т. д. функции распределения:
( J dsS(x -xa(s))) = J1(X)1
( J dsS(x-xa(s)) J dstS(xt-Xb(St))) = U(XiXt)i ( J dsS(x-xa(s)) J dstS(xt -Xb(St)) j dsttS(xtt - Xc(Stt))) =
= IabcixjXtyXtt).
Имеют место формулы [5]
(Na(X)) = Uja(X)1 (1.115)
(Na(x)Nb(xf)) = (nanb - TiaSab)fab(x, Xt)+
+ naSab J dstS(xt - xa(s' I x))fa(x) (1.116)
и аналогичные соотношения для высших моментов. Здесь жа($ | х) обозначает траекторию частиц сорта a в фазовом пространстве, проходящую через точку X фазового пространства, Tia —число частиц сорта а.
Подставляя (1.115)—(1.116) в (1.113) и (1.114) и учитывая, что LikirI ~ rIf >q~ q' iP') обращается в нуль при т] = т/, q = q', a = Ь, получим систему уравнений для релятивистских функций распределения при Tia 1:
id fa . о! k З/а п f з f 4
u-о?+iu bL 4 qJ p
1 -аб/ / „ / t\„tk &
a2(rf) ^ ~ 4 ~ 4''P>QfM*> *') = 0- (1-117) 1.2. Столкновения в мире Фридмана.
47
^t Sjfab(XyXt) + —ukpk-?-fab{x,x') + Oqt a ор4
xL?k( T1 - ту", q - "7Г~~ fab(x) Xі) X
OPi
X J ds"8(x" - Xb(s" I я')) = 0. (1.118)
При получении (1.118) полагали, что х' не находится на траектории частицы сорта a, проходящей через точку фазового пространства х . Иными словами не при каком s невозможно равенство х' = жа($ | х). Этим мы не учитываем самодействие частиц.
Для того, чтобы получить кинетическое уравнение с точностью до членов второго порядка малости по взаимодействию, положим:
fab(x,x') = fa(x)fb(x')gab(z,x')y
fabc(xy,x")~fa(x)fb(x')fc(x"). Приближенная система уравнений для fa(x) и даь(х,х') имеет вид
+ ?"»/"<''>'/ A'/^Р'^ЧИч-Ч'.Ч-Ч'.Р')»**
?
X тг-(9аь{х,х') +gba(x',x)) = 0, (1.119)
dpi
і 9 , А a' JL d / /х
u Tldab(X1X) + —u pk — gab(x,x )+ oq% a op4
+ ?V/ A"/dY^Ltir}-r/",q-q"y>fcx 48
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
X ! ds"&{x" - xb(s" I х')) = 0. (1.120)
OPi J
В последнем члене левой части уравнения (1.119), так же как и в работе [5], стоит симметричная комбинация решений уравнения (1.120) для <7аб(я>я') и решения уравнения для получающегося
из (1.120) заменой a 6, х ++ х'. Таким образом мы учитываем как влияние частицы сорта Ь на частицу сорта а так и обратное влияние.
Ввиду малости взаимодействия траекторию второй частицы под интегралом в (1.120) можно считать геодезической в мире Фридмана. При этом мы получим кинетическое уравнение с точностью до членов второго порядка малости по взаимодействию. Для геодезической траектории в пространственно-плоской метрике Фридмана имеем для частицы сорта 6 (р2 = р\ + р\ + р\):
PiabHv" I *') = P1a = const,
p<V I «') = (ebaHv")+Р")1/2 = MV"),
где Єь = 9^Pib^Pjb^ = const,
q°{rf' I x') = q>° - P'a jf ^y, q\v" I «') = v"¦
Здесь и ниже греческие индексы являются пространственными индексами и пробегают значения от одного до трех.
Интегрируя в (1.120) по s",q"a и р", получим (р = [р\,Р2,Рз))
XUjAM^ = O. (1.121)
Подставим в (1.121) явный вид для L^ из (1.112) и запишем общее решение уравнения (1.121): 1.2. Столкновения в мире Фридмана.
49
/т d3k г <9
dT'~rvk{T,)Wr (ехр(_г'к(ч-q,)sink{T-т>))-
d і (exp(-»k(q - q')sinfc(r - г')) }х
X exp ^-ikJ* vWW - ikJ^ vVW^ • (1.122)
В этом выражении введены обозначения: v—трехмерный вектор с координатами ра/рл , Vfs = (v> 1)> v% = VtkVk- Штрихи относятся к частицам сорта Ь, нештрихованные величины—к частицам сорта a , q\ = (<7a,r); {dfa{x)/dpi)T означает производную, в которую вместо аргументов 77, q,pa>p4 подставляются соответственно аргументы г,
4 + ? Pa,
Подставляя (1.122) в (1.119) и учитывая (1.112), получим после интегрирования по q' в (1.119) следующее кинетическое уравнение:
і a' fcn dfa іЄа/і? K9tM _ O ^ ra6 (Л 19o\
uW + ^uPkdF4+~{Fik)u ЛЇ- Wi^jj ' ( 3)
о
где
jab _ Ielelnb Г f —X
- Jvo «»(,/) JdpJ A» *
XI ti{^j(exp(-i"kq)sin*r(i7- f/))-—u'j -ЩТ (exp(—ikq) sin k(rj — ?/))j u' ^J drvk(r) x
X (^-) n(x')J*dr'exP(ik J\(4")dv"+
+tief* y'M'W) (exp(ikq) sin k(r - r')) -
-Wl-Qjk (exp(ikq) sin k{r - r'))] + 50
ГгПАВА 1. Кинетические уравнения в ОТО
+{dr'v'k(r'}(§) tfrexpOk/"v^w+
+ik jf" v'(ff)dV") [vk (г) (exp(ikq) sin k(r - /)) -
-^(r)^-(exp(ikq)sinA(r-r'))] j, (1.124)
(Fik)—самосогласованное электромагнитное поле, создаваемое частицами.
Остальные вычисления удобнее произвести, если перейти к семимерной функции распределения [11] Fa(q%,Poc), зависящей от координат и пространственных компонент pQ импульсов:
^afa(J-Pj) = Fa(q\pa)S fa3PiPj)1/2 ~ Шас) .
Уравнение для Fa получается из (1.123) после интегрирования обеих частей уравнения (1.123) по р4 . Следует произвести также интегрирование по р'А в (1.124). В результате получаем
.OFa
где
і dFa ea \kura _ С/ jab
XI «/^¦(exp(-ikq)sinA(»7-4/))--<A(exp(-ikq) sin - if))]pf ІУ drvh(r)X
X exp y{v")dv" + ik J' v'W'W^j *
vHrOT-J (exp(ikq) sin k(r - /)) -dqr
(1.125) 1.2. Столкновения в мире Фридмана.
51
(1.126)
~v'?(r') (exp(ikq) sin k(r - г'))] + хехр(гк^ v(r]")dri" + ik J^ v'fa'W) *
