Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
точках (п ^ 5) возможна лишь при исключительных обстоятельствах.
При выполнении условия (Х.203) имеем
й,(Г, s') = eis'Z(t') + e-is'Z(t'),
й2((', s') = 2[e1'sa1(s')Z((')+e-lVa1(s')Z((')] + 2w0(r, s'),
2w" = exp (2i (s'+coj')) w01(f') +
+ exp(- 2i (s'-f co0(')) w01 (^') + w02(('), (X.223)
где p2, co2 - известные постоянные, a w0y-известные Г-периодиче-ские
функции; а, есть подлежащая определению 2л/'п-периодическая функция,
среднее значение которой равно нулю. Обращаясь к уравнению (Х.199),
получаем
¦D6WJ + 6faa (Г | й11 е"' аг (s') Z (t') + e~ lV at (s') Z ((')) + R = 0,
(X.224)
где
R = 3p2futl ((' | йх) + Зш2 gb 3faa (Г |u,| 2w0) + faaa (Г 1U! | ^ | ix).
Поэтому
6wj = 6"1 (s') exp (2t (s' + (c)"*')) w01 (f) -f + 6a] (s') exp (-2i (s' +
w0(')) w01 (t') -f + 3 [a, (s') + "i (s')] w02 ((') - J^R. (X.225)
250
ГЛАВА X
Теперь условие совместности (Х.204) позволяет нам определить ах (s'). Для
нахождения ах используем тождества
[W(n~UiK), Z*(OLr=0, (Х.226)
[4faa (V1 щ | 6wt) + 3faa (t'_\щ | iia) + 6faaa (Г | щ | щ | 5a), Z*
(/')]"r =
= 12A*'*' [2ax (s') + at (s')]-4 [faa|1 (Г | J, | Г1 R), Z* (OLr +
+ 12 [fao (^' | w01 w0) + faaa (t' | Uj | Uj | w"), Z*{t')]nT.
(X.227)
Тогда условие (Х.204) приводит к соотношению
Щ (%Z + iai) =fl2an(0)ai + A2(2a1+ai) + />(s'), (Х.228)
где
Р (s') = г- is' [Ка (Г | W01 w0) + faaa (/' I u, I lij I w0), Z* (t')]nT-
-Te~is' P.a^'lSll^R). Z*(t')]nT.
Тщательное исследование функции Я (s') с использованием (Х.223 - 225)
показывает, что
( = P,e~5is', если п = 5,
P(s'H п . к (Х.229)
( з= 0, если п > 5, v '
т. е. функция Р является 2п/п- периодической с нулевым средним значением.
Теперь соотношение (Х.222) позволяет упростить уравнение (Х.228) и
представить его в форме
6)2 ШГ = ^2 (а! ai) ^ (X .230)
Упражнения
Х.4. Покажите, что уравнение (Х.230) имеет единственное (2я/я)-
периодичес-
кое по s' решение с нулевым средним значением. (Указание: см.
дополнение Х.1.
Выведите, что иа и wx поэтому полностью и единственным образом
определяются и принадлежат РГ 2п- (Указание: см. (Х.225).) Докажите, что
на каждом шаге
последовательного вычисления ир, цр, а>р необходимо решать некоторое
дифференциальное уравнение вида (Х.230) относительно ар, р^ 1, правая
часть которого является 2я/я-периодической и имеет среднее значение,
равное нулю.
Х.5. Пусть г = ш07'/(2я) = т/п - рациональное число. Покажите, что
I Ypql (0) I < 2я '
Предположим теперь, что г - иррациональное число. Покажите, что не
существует числа С, не зависящего от р, q и /, р Ф q + 1, такого, что
\ypqi^)\<C\bpql (0)|.
Отсюда выведите заключение о том, что в иррациональном случае существуют
большие коэффициенты | ypqi (0) | (малые знаменатели).
БИФУРКАЦИЯ В АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 251
Замечания
Установленные в настоящей главе результаты описывают динамику задач в
К/*, и многие наблюдаемые особенности поведения континуума решений в
бесконечномерных пространствах (пространствах Банаха), которые таковы,
что на самом деле динамика происходит в двумерных пространствах,
получаемых в результате проектирования. (Здесь, в сущности, мы имеем дело
с трехмерным пространством, третьим измерением которого служит время (.)
Такие задачи возникают, например, в динамике жидкости для малых систем,
где понятие "малые" используется для разделения собственных значений
спектра линейного оператора задачи. Обзор некоторых таких задач приведен
в книге под редакцией Суинни и Голлуба (Н. Swinney, J. Gollub,
Hydrodynamic instabilities and the transition to turbulence, Topics in
Current Physics, New York - Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag, 1980),
посвященной механике жидкости. Вообще говоря, мы получаем
последовательности бифуркаций в стационарные симметрично-распадающиеся
решения, в периодические по времени решения и в субгармонические и
асимптотические квазипериодические решения на торе. Синхронизация
(захват) частоты также наблюдается в некоторых экспериментах, связанных с
движениями жидкости, и в классических экспериментах с камертонами и
электрическими контурами.
Мы признательны А. Ченсинеру за ценные обсуждения природы потока на Т2.
Историческое вначение. По-видимому, Ю. Неймарк впервые сформулировал
теорему об инвариантных торах, которые ответвляются от периодического
решения (или инвариантных циклах, которые ответвляется от неподвижных
точек отображений, таких как отображение Пуанкаре). Он не привел
доказательства своего результата и не указал ни одного результата о
периодических решениях в точках сильного резонанса. Он исключил точки
л=1, 2, 3, 4 сильного резонанса (Xo=l), введя предположение о слабом
притяжении нулевого решения в критической точке. Р. Дж. Сейкер дал первое
доказательство существования инвариантных торов при условиях, исключающих
точки сильного резонанса. Он также сделал некоторые частные замечания о
том, что в таких резонансных точках могут появляться субгармонические
решения. Результаты Сейкера вновь были получены Д. Рюэлем и Ф. Такенсом,
