Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
которые ошибочно включили я=5 в исключительное множество точек сильного
резонанса. В статье Рюэля и Такенса наиболее четко высказана основная
идея о том, что "турбулентность" представляет собой свойство
притягивающих множеств, которым могут обладать даже типичные уравнения в
Rm с небольшим т\ в их работе т - 4. Эта идея очень важна, потому что она
означает, что даже после нескольких бифуркаций может иметь место
хаотическое движение. Основные результаты о бифуркационных
субгармонических решениях в точках сильного резонанса в формулировке гл.
IX были доказаны Йоссом и Джозефом (1977), см. цитированную выше работу.
Пуанкаре исследовал случай субгармонической бифуркации с п=1. Уэйн (Y. Н.
Wan) доказал, что тор ответвляется, когда Хо = 1 и отсутствует 47'-
периодическая бифуркация. Оригинальный метод исследования всех
резонансных случаев предложен В. И. Арнольдом. Арнольд вводит два
параметра и развивает некоторые предположения, основанные на
двухпараметрическом анализе, чтобы объяснить синхронизацию (захват)
частоты.
Глава XI
ВТОРИЧНАЯ СУБГАРМОНИЧЕСКАЯ И АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКАЯ
бифуркация периодических решений
(ТИПА ХОПФА) В АВТОНОМНОМ СЛУЧАЕ
В гл. IX и X были рассмотрены задачи устойчивости и бифуркации решения и
= 0 эволюционной задачи, приведенной к локальной форме, u = f((, ц, u) =
f(/ + 7\ р, и). В § 1.3 мы показали, как приведенная задача возникает при
исследовании нетривиальных Т-периодических решений U (й = U ((+ Т)
эволюционных задач вида
U = F(/,p, U) = F(/ + 7\[i, U), (XI.l)x
где U = 0 не является решением, потому что
F(f,|i,0) = F(* + 7\|i,0)#0. (XI.1),
Для такого типа задач внешняя среда влияет на динамическую систему,
описываемую уравнением (X1.1)г, через наложенное условие (Х1.1)2. Такая
динамическая система воспринимает внешнюю среду как в точности Т-
периодическую и вынуждена приспосабливать свою собственную эволюцию в
соответствии с этим фактом.
Теперь мы хотим рассмотреть бифуркацию Т-периодических решений в другом
аспекте. Пусть имеется некоторое Т (е)-периоди-ческое (Т (е)=2л/ш (е))
бифуркационное решение U (со (е) t, е)= U(p(e))-f--)-u (со (е) t, е) = U
(со (е) I + 2л, е) автономной задачи
% = FQi, U + u) = f(p,u),
F (р, U) = 0,
для которой
F(p, 0)^=0.
На самом деле функции и(со(е)/, е), со(е) и р(е), определяющие
периодическое бифуркационное решение (решение Хопфа), в точности
совпадают с функциями, которые были изучены в гл. VII и VIII. Нас
интересует потеря устойчивости и вторичная бифуркация решения U(co(e), t,
е). В сущности, нет необходимости предполагать, что Ц появляется в
результате бифуркации. Достаточно, чтобы U представляло собой Т-
периодическое решение автономного уравнения, зависящего от некоторого
параметра.
Задача, которая теперь составляет предмет нашего исследования- бифуркация
периодических решений автономных задач,- очень близка
ВТОРИЧНАЯ БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ 253
к задаче бифуркации нетривиальных Г-периодических решений, которая была
изучена в гл. IX и X. Будет показано, что качественные свойства вторичной
бифуркации периодических решений автономных задач и свойства первичной
бифуркации нетривиальных Т-периодических решений почти одни и те же. В
обеих задачах мы находим субгармоническую бифуркацию в nT-периодические
решения в рациональных точках при1) п = 1, 2, 3, 4, а в других точках
получаем бифуркацию в асимптотически квазипериодические решения или, если
выполняются весьма специфические условия слабого резонанса, в
субгармонические решения с периодами, соответствующими целым числам п^5,
а распределение устойчивости на ветвях решений является одним и тем же
для обеих задач.
Однако эти две задачи тождественно не совпадают. В автономной задаче
внешняя среда сообщает "максимально симметричную" информацию, т. е.
стационарную информацию, и поэтому решения нечувствительны к выбору
начала отсчета времени. В нетривиальной Т-периодической задаче
определенная структура временной симметрии, Т-периодичность, навязывается
извне, и решения нечувствительны только к сдвигу начала отсчета времени
на период Т. Одно следствие этого различия состоит в том, что
субгармонические решения, которые появляются в результате вторичной
бифуркации из решения Хопфа (автономный случай), имеют определенные
периоды, которые (1) зависят от амплитуды и (2) близки к периодам пТ (е)
(п- 1, 2, 3, 4) решения Хопфа (но не в точности с ними совпадают), если
|е|=^0 мало. В нетривиальной Т-периодической задаче субгармонические
решения являются в точности т = пТ-периодическими (п= 1, 2, 3, 4), где т
не зависит от амплитуды е.
Второе следствие этого различия техническое и связано с тем
обстоятельством, что u (s, е) всегда является решением спектральной
задачи (VIII.36), (VIII.38), связанной с анализом устойчивости решения
Хопфа, и этому решению отвечает нулевое собственное значение. Это
свойство имеет следующее значение. Бифуркационные решения {u(s + 8, е),
