Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому можно предположить, что траектория начинается в точке замкнутой
кривой p = eR(0, е) при 0 = 0". После первого оборота траектория
пересекает замкнутую кривую при 0 = 0i, т. е. д1 = /(д0). Траектория
снова наматывается на тор и по истечении промежутка времени Т пересекает
замкнутую кривую при 0 = 02 = / (0i) = Р (0О) и так далее. Изменение угла
между последовательными точками пересечения дается функцией /(0). Поэтому
получаем последовательность 0", /(0o) = 0i, /2 (0О) = / (0i) =¦ = 02,
..., /п(0о) = /"-1(01)= ... =f(0"_i) = 0". Пусть 0 = 0о + шХ. Тогда f(Q0)
= Q0 + uT = Q1, /2 (0О) = 0О + 2со7\ ..., /"(0") = 0О + пшТ. Отметим, что
если оо = 2ят/(пТ), то траектория на торе будет пТ-периодической.
Введем теперь число вращения р (/) отображения /:
р(/)= lim ~[ГФ)~^1 (X. 141)
V' -*¦ 30
Пуанкаре, который впервые ввел в рассмотрение это число, доказал, что
этот предел существует и не зависит от 0. Если число вращения р (/)
представляет собой иррациональное число г, то можно показать, что решения
на торе являются квазипериодическими и что замена переменной 0 приводит к
отображению Д0) = 0 + <йТ, со = 2пг/Т, О < г < 1, представляющему собой
именно вращение на замкнутой кривой (Данжуа, Боль). Так как fv (0)-0 =
2nvr, то получаем р (/) = г. В иррациональном случае каждая итерация
отображения дает новую точку на кривой р = е/?(0, е) и ни одна из этих
точек не повторяется, так что точки пересечения любой траектории образуют
плотное множество на кривой р = е/?(0, е) в поперечном сечении тора.
Поэтому любая траектория на торе со временем полностью заполняет тор.
Для квазипериодических решений на торе число вращения р= г => = ш/(2л/Т)
представляет собой отношение частот. Если вращение
232
ГЛАВА X
р (/) есть рациональное число, г = т/п, то существует 0О, такое, что (0")
за 0О (mod 2л) и соответствующая траектория является пТ-периодической. В
этом случае, вообще говоря, существуют две пГ-перио-дические траектории:
одна притягивающая (устойчивая), а другая отталкивающая (неустойчивая),
как, например, на рис. Х.2. Траектории, близкие к притягивающему тору, со
временем будут улавливаться устойчивой траекторией на торе.
Приближенные дважды периодические решения, которые являются
асимптотическими к истинным решениям с точностью до членов порядка eN, N
произвольно, имеют вид
и (о = v (/, [со0 + е2й(е2)]0, (Х.142)
где V(t + T, t') = V(t, /'+2л) = V (/, tf) (см. замечания в конце
дополнения X .3). Этому типу поведения решения соответствует число
вращения
p(e)=K+_e^(e2)ir > (Х143)
которое является полиномом относительно в. Для этого числа вращения
большей части значений е соответствуют иррациональные значения р(е), если
й(е2)^0.
Необходимо различать число вращения р(е) (Х.143) асимптотического
представления потока на торе и истинное число вращения Р(/е). где
/е(0) = 0+юо +e2Q(e2) + ejV/i(0, е),
при этом N произвольно, a /i(0, е) - неизвестная функция. Для истинного
отображения q-я итерация есть
Я(0) = 0 + <7(юо + e2Q(e2)) + e^(0, е). (Х.144)
Функция р(е) аналитическая. В отличие от истинного числа вращения,
которое обсуждается ниже, она не может иметь ступенек, обязательных при
захвате частот решением (см. рис. Х.З).
Истинное отображение может не являться аналитическим по е; даже если
отображение и является аналитическим, число вращения р(/е) может и не
быть гладким по е, хотя Пуанкаре показал, что функция р(/е), по крайней
мере, непрерывна на в. В самом деле, следующее соображение можно
интерпретировать как подтверждение того, что функция р (/е) не является
гладкой, но, вместо этого, принимает постоянные значения на интервале в в
рациональных точках р (fe) = p/q. Это приводит к непрерывной кривой,
имеющей ступеньки, как на рис. Х.З. Предположим, что р = plq, еслие = е0,
а 0" - неподвижная точка порядка q отображения 01-"¦ /е (0) при е = е0,
т. е.
fl(%)-% = 0. (Х.145)
бифуркация в АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 233
Эта неподвижная точка соответствует периодическому решению с периодом qT
нашей исходной задачи, а отношение 0 < plq < 1 играет роль т/п гл. IX.
Чтобы доказать, что число вращения р(/е) остается постоянным на
интервале, содержащем е0, достаточно показать, что равенство
def
?е(9) = /г9(е)-е = О (X. 146)
выполняется для (е, 0), близких к (е0, 0О). Здесь q-целое кратное,
соответствующее qT-периодическому решению, a p/q определяется
непрерывностью р(/8). Теорема о неявной функции гарантирует, что
Рис. Х.З. Число вращения отображения Пуанкаре. Это число вращения кажется
гладкой функцией при е->-0.
будет иметь место уравнение (Х.146), если выполняется равенство (Х.145) и
<Х'И7>
для (е, 0) = (ео, 0О). Тогда найдется интервал изменения е, содержащий
е0, для которого существует решение 8(e) уравнения (Х.146) с числом
вращения р (fe) - p/q. Это приводит к плоским сегментам, ступенькам,
показанным на рис. Х.З. Доказательство, опирающееся на теорему о неявной
функции, показывает, что нижняя граница размеров ступенек имеет порядок
