Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Мы показали, что для каждого N поток на торе является, по крайней мере
приближенно, квазипериодическим. Для всех потоков = 0, и теорема о
неявной функции не приводит к захвату частот. Функция р (е) аналитическая
для всех таких приближений.
234
ГЛАВА X
Смысл того обстоятельства, что число усечения N произвольно, состоит в
следующем. Норма разности усеченного приближения u,/V)(e) и точного
решения и (е) имеет вид
IIй (е) -!!<"> (6)1 = 6^ 6дг (е),
где, вообще говоря, конечное N - N (е) может дать меньшую ошибку (е) (е),
чем большее N, а самое лучшее N = N(e) таково, что
lim N (е) -> оо. е-*- О
Поэтому по крайней мере можно утверждать, что длины интервалов,
на которых р (/е) постоянно, должны стремиться к нулю быстрее, чем любая
степень в.
М. Херман показал (М. Herman, Mesure de Lebesgue et nombre de rotation,
Geometry and Topology, Lecture Notes in Mathematics, No. 597 (New York -
Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag, 1977,
pp. 271-293), что если p (/e) не является тождественно постоянной,
то множество точек е, для которых р (/е) иррационально, имеет
положительную меру. Множество таких точек, которые соответствуют
решениям, обладающим свойством захвата частот, имеет положительную меру,
если существуют точки (е0, 0О), для которых выполняется неравенство
(Х.147); однако интервалы изменения е, окружающие е0, являются малыми,
если в мало, так что трудно наблюдать захват частот субгармоническими
решениями, если в мало. Но для больших значений в асимптотически
квазипериодические решения и синхронизация по частоте субгармонических
периодических решений возможны и наблюдаются в приложениях.
Недавние эксперименты свидетельствуют о том, что бифуркация периодических
решений в инвариантные торы часто встречается в гидродинамике.
Квазипериодические решения обнаруживаются экспериментально при изучении
фурье-спектра некоторых зависящих от времени характеристик течения,
например, составляющей скорости. В спектре квазипериодичного движения
наблюдаются большое число пиков, соответствующих периодическим
компонентам колебаний, и низкоамплитудный шум. Если движение
квазипериодично с двумя частотами, можно все резко выраженные
характеристики спектра отождествить с суммами и разностями гармоник этих
частот. Отношение частот дает упомянутое выше число вращения. В
экспериментах это число оказывается гладкой функцией \х вблизи точки
бифуркации. Для больших значений р решения могут захватываться
субгармоническим решением, в котором отношение двух частот постоянно и
рационально на интервалах (см. рис. Х.З).
БИФУРКАЦИЯ в асимптотически квазипериодические РЕШЕНИЯ 235
Дополнение Х.1. Построение асимптотически квазипериодических
решений, ответвляющихся в рациональных точках более высокого порядка (п ^
5), методом степенных рядов с использованием альтернативы Фредгольма
Анализ асимптотических решений на бифуркационном торе можно провести,
исследуя автономные уравнения (Х.35) методом степенных рядов, который был
использован в гл. VIII. По своей структуре искомые решения представляют
собой суперпозицию Г-периодических функций и преобразования z/ =
e'""/x(s), где, как и выше, s есть приведенное время, связанное с t
отображением, зависящим от амплитуды,
e2Q (е) t = s, (X. 148)
которое отображает 2л/(е2П(е))-интервалы по t в 2л-интервалы по s.
Здесь будем предполагать, что редукция к автономному уравнению (Х.35)
фактически ограничивается на некотором N или что N-оо, но правая часть
уравнения (Х.35) является аналитической
по х и х, если р малб. Принимая какое-нибудь одно из эквивалентных
определений амплитуды е переменной х, можно выполнить приводимое ниже
формальное построение, т. е., предполагая аналитичность правой части
(Х.35) по х и х, можно использовать теорему о неявной функции для
доказательства того, что ряды (Х.154) по степеням е сходятся к
единственному решению уравнения (Х.35), если е мало.
Пусть а(•) €Ргп, Ь(-)?р2п. Тогда
def j 1Л
[a, Ь]2п = 2^] a(s)b(s)ds.
о
Амплитуду бифуркационного решения можно определить следующим образом:
e = [x, eis]2n. (X. 149)
Функции р(е), П(е) и x(s, e)?p2", удовлетворяющие уравнению (Х.35), ищем
в виде
р = е2р(е), П = й(е), x = bx(s, 8), (Х.150)
где
= ^ хЫ2'г<т,е2?~2 +
as Я > 1
+ X ? |хГ{ae.*3C1+*Ve + *"-4fla,-*X*B"V9+*"-4}. (X. 151)
k > С Q > О
236
ГЛАВА X
Функция %(s, е), удовлетворяющая уравнению (Х.151), инвариантна по
отношению к переносу начала отсчета координаты s и по отношению к
поворотам функции x(s, е) на углы, кратные 2п/п, т. е. если %(s, е)
является решением (Х.151), то решением также будет X(s-f-tp, е) для
любого <р, а также х (s, в)е2я'7л.
Предыдущий анализ уравнения (Х.35) показывает, что х = pei0 = ee'f (1 +
г%г (s) + . . .}, где Xi(')€P2n- Поэтому положим
X(s, e) = eis% (s, е),
где, с учетом (Х.149),
2 л
~ J x(s, е) ds= 1. (X. 152)
о
Фактически мы уже знаем и сейчас снова докажем, что функция X(s, е)
является не только 2я-периодической, но и 2л/п-периодиче-ской. Здесь
