Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
! + "g = f(*, р, u) (X. 196)
приводит к уравнениям
^"и, = 0, (X. 197)
-2>2 + faa(*|Ui|Ui) = 0, (X. 198)
J?"u, - Зш2 ^ + 3p2fa|X (t | uj + 3faa (t1 ux | u2) + faaa (<|u1|u1|u1) =
0>
(X.199)
Я?oU4-6co2 ^ -f 6p2fU(1 (t | u2) + 4fao (/1 и, | u3) + 3foa (/1 u21 u2) -
f
+ 6faaa (t1 Ux I Uj I u2) + 6p2fua(i (t I ux (ux) = О, (X.200)
а для p> 4
0> Ц ПЩ ^Uj P(P-')
Up P^p-1 ds 2
ffl,
i du2
+ (r)р-* -fc
+
ds 1 P-
+ PPp-Jun (*| Ux) + piaa (t I ux I U^i) +
P<?_ 1) [jxafuti(/ | up_2)+faua (t I Ut I Ux I
+ teB(^l"2|u,_") + p, (t |u2) +
+ Pp - 2 ^UU\k I Uj | u1)] + g/, = 0, (X.201)
где g^, зависит от членов более низкого порядка, чем р-2. Мы будем
последовательно решать эту систему уравнений относительно сор, ря,
и"?Рг,2я- Чтобы показать, как это делается, начнем с решения нескольких
первых уравнений.
Условия совместности (Х.193) уравнений (Х.198-200) приводят к
соотношениям
[*аи I ui I ui)> Z*(OLr = 0 (интегрирование по tr), (Х.202)
Зш"
6со"
г*{П
, - Зр2 [^ыц {t' I Ul). Z*(^')]"r +
+ [3faa (*' | "l I ".) + hau (t' I Ul I Uj I Uj), Z*(t')]nT, (X.203)
т > z•(/')
nT
= 6p2[fun(^|"a), Z*(t')\nT +
+ [4fBB (f | Uj I Щ) + 3faa (/' | U2 | U2) + 6faoo (Г | Uj I Uj | i.), Z*
(f')]nT +
+ 6p2[W*>j|Ui), Z* (t')]nT. (X.204)
БИФУРКАЦИЯ В АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 247
В этих уравнениях использовано обозначение
def _
u(t, s) = u (/', s'),
где t = t'\ s = s'+(i>0t, для любой функции и из Рг, 2Л-Представим u^Pr,
2Я в форме следующего разложения:
u {t, s, e) = e[e'*a(s-со0/, е) ?(/)+"-'¦'a (s-oy. е) ?(/)]+e2w(*, s, е),
(Х.205)
где а-это 2я/п-периодическая функция по своему аргументу и где [w(/', s',
е), Z*(/')]"r = 0 (интегрирование по t'). (Х.206) Отметим, что
и (/', s', е) = е (eis'a(s' е) Z (t') -\-е~ {s'a (s', e)Z(*')) + e2w(?'',
s!, e),
(X.207)
up(t'.s'Hpiys'a^s') Z (*')+"" (s') Z (<')]+p(p-1) w^.^'.s'),
(X.208)
где все ap суть 2л/п-периодические функции по s'.
Разложение будет единственным, если потребовать, чтобы
2 Я
е = ^1 ["<**• s'> е>' 2*(0]ятв-(Х..209)
О
Это следует из вида ядра оператора 31. Отсюда получаем условие
2 Я
2И a(s'- e)^' = 1-
о
Поэтому
2л 2л
a"(s')ds' = l, j a,(s')ds' = 0, p> 1. (X.210)
о 0
Возвращаясь к системам (X. 197-201) и (Х.202-204), находим решение
уравнения (Х.197) в форме
щ((', s') - a0(s')els'Z (/') +(s')e~ is'Z(t'), (X.211)
где среднее значение функции а0 равно 1 и она является 2л/п-пе-
риодической, а условие (Х.202) автоматически выполняется, так как пф 1,3
(см. гл. IX). Поэтому альтернатива Фредгольма гарантирует существование
решения и2?Рг,2л уравнения (Х.198) вплоть до членов, входящих в ядро
оператора т. е. функция w0 опреде-
248
ГЛАВА X
ляется. Мы нашли, что в р"г, 2я
J12w0 + al (s') exp (2 i (s' +<d0/')) faa (f | g (f) | g (*')) + _
+ a? (s') exp (-2t (s' + a>0f')) f" (t' | g (f) | g (f)) +
+ 21 a0 (s') |2 faa (f | g (*') | g (*')) = О, (X.212)
поэтому
2w0 = at (s') exp (2 i (s' + со J')) w01 -f-
+ ao (s') exp (-2i (s' +со0Г)) w01 +1 a0 (s') j2 w02) (X.213)
где vv01(f), wQ2(r) суть Г-периодические функции,
J(w01e2i"oC') + (/' | g | g e"<M' = о,
Jl(wM) + 2fee(/'|EIE) = 0,
при этом w01 и w02 в точности совпадают с Т-периодическими функциями,
которые фигурируют в (IX.79). Отметим, что w0?P7-j2n-Теперь обратимся к
условию (Х.203). Для вычислений нам понадобятся следующие тождества:
fdtip 1 d Г doLp-xis') 1
1W' Z* nT = Pd?(ap-i(s)et5') = peiS ^-----------------------
f.fa^i(s)j,(X.214)
[W(*' I "я). z*]"r = Pa,x (0)a,.i (s') eis' + p(p- l)[fU|i (/' | wp_t),
Z*]"r,
(X.215)
Z*]nT = p(p- l)[f"(*' lujw^.,), Z*]"r. (X.216) Теперь (Х.203) можно
записать в виде
3(r)2 (а? + ia<>) = (°)а° + е~ t3f"" VI I 2v^ +
+ faao(^|Ui|UiK). Z*(OLr (X.217) Имеют место также тождества:
[fM(/'|PZ + PZ|2we), Z*]"r = P|a0|2[f"^'|g|w02). g*(f')]r =
= $ate2is'Vua(t' |C|w01), Е*(0]г. (X.218)
JPZ + PZ), Z*]r =
= (2P|ao|2 + pa^^)[faoa(^|?l?IS). g*]r. (X.219)
и (X.217) приводит к соотношению
(йг + i"o) == 9^0. (0) "0 + Л2а01 a012, (X.220)
где Л2 - величина, содержащая скалярные произведения в рт и определенная
формулой (IX.80). Единственным возможным периодическим решением уравнения
(Х.220) со средним значением 1 является
а0=1 (Х.221)
БИФУРКАЦИЯ В АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 249
и оно приводит к соотношению
ico2==h!M0) + Aa, (Х.222)
которое в точности совпадает с условием (Х.157) и определяет р." и С02.
Упражнение
Х.З. Умножая (Х.220) на а0 и складывая его с комплексно-сопряженным
уравнением, докажите, что |а0|2 = const. Затем проинтегрируйте (Х.220) в
пределах периода, чтобы найти соотношение между коэффициентами,
необходимое для получения отличного от нуля периодического решения. После
этого придиге к заключению, что а0=1 есть единственное решение со средним
значением, равным единице.
Отметим, что если положить со2 = 0, то уравнение (Х.222), вообще говоря,
неразрешимо. В (IX. 101) это обстоятельство было использовано для того,
чтобы показать, что бифуркация в субгармонические решения в рациональных
