Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
du du . du
1Г~ +
Эти уравнения почти совпадают с уравнениями вида (IX.50), (IX.51) и
(IX.52) за исключением того, что производные нечетного порядка от р и со
равны нулю, должен быть принят во внимание член с произведением, а
оператор Л следует заменить на оператор
^e = -<D0±-|. + M*|-) =-и.? +^ (X. 167).
240
ГЛАВА X
область определения которого состоит из дважды периодических функций от t
и s (dom 3'0 = Рг, 2л)- Оператор J0 в точности совпадает с оператором,
определенным в § IX.4, за исключением того, что здесь мы пишем d/dt в
связи с тем обстоятельством, что если У0 действует на функции из Рг, 2я,
то вторую переменную s следует рассматривать как постоянную. В частности,
J о? = >
где ico0 - простое собственное значение, и поэтому
г = е'% и г (Х.168)
являются единственными собственными функциями на нуль-пространстве
оператора 3>0, т. е. 3? йг = "2%г = 0. Чтобы доказать это, представим
нуль-векторы оператора 3?0 в виде рядов Фурье и отождествим коэффициенты
при eiks. Тогда, принимая во внимание то обстоятельство, что со0772я есть
иррациональное число, получаем
± ico0 + ф i(a0k' для любых ИфО и k'.
Оператор, сопряженный по отношению к 3?й в Рг, 2я> определяется с
использованием скалярного произведения
det 1 т
[-.-]rds, (X. 169)
о
где [•, • ]г определяется как в гл. IX с использованием операции
интегрирования по t. Имеем
ьЦ=[[а, з>;щ
для всех а, b из Рг, 2я и
^* = Q3" a7+W + f"(/l) = ?0°i + '/"> (Х.170)
где оператор JZ определяется как и в §§ IX. 2-4.
Теперь определим z*(t, s) = ets?*(t) и предположим, что
30у (t, s) = h(t, s), h(-,-)6Рг,2я- (X.171)1
Тогда решение у (I, s), у(-, -)€Рг, гл существует, если только
Р, z*Jj = p, z*J = 0. (X. 171 )а
Условия (X. 171 )2 являются также достаточными для разрешимости
в случае, когда h (t, s) представима в виде конечного ряда Фурье по s. В
общем случае в (X. 171)х возникает "проблема малых знаменателей", и
разрешимость может быть гарантирована, если на
БИФУРКАЦИЯ В АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 241
h(•, •) и со0 наложить более сильные условия и потребовать выполнения
одного диофантова условия. Условия (Х.171) выражают альтернативу
Фредгольма для разрешимости приводимых ниже условий для определения
коэффициентов рядов (Х.166). Если h(t, s)-вещественная функция, то
одно из условий (X. 171 )2 следует из другого.
Подставляя ряды (Х.166) в (Х.1) и приравнивая в левой и пра-
вой частях получаемого уравнения коэффициенты при одинаковых степенях е,
получаем уравнения
0 = ^"Uj, (X. 172)
0 = ^0u2-f foa(*luilui)> (Х.173)
Зсо2 ^ = J%u3 -f 3p2fU|x (f | uj -f 3fuu (t | ux j u2) + fuuu
(f|u1|u1(u1) = 0,
(X.174)
а для p > 3
P(r)p-i ^ = -2>p -f PiV-iW (11 uj + piuu (t | щ | u^.j) -f g,, (X. 175)
где gp зависит от членов более низкого порядка, чем р-1. Каждое из этих
уравнений решаем относительно up(t, s), ир (•, •) ?Рг, 2л, "р-1 и рр_!.
Из альтернативы Фредгольма (Х.171)2 для ?0 следует, что уравнение (Х.173)
разрешимо, если
puu(*|"i)Ui), z*J = 0. (X. 176)
Напомним, что ([-,•]] определяется формулой (Х.169) как интеграл по t и
s. Уравнение (Х.174) разрешимо, если
3co2|^l, z*J = 3p2pun(/|u1), z*J +
+ [{3fu"(f|u1|ua) + fUttu(*|u1|u1|u1)}, z*], (X.177) а условие
разрешимости уравнения (Х.175) имеет вид
z*J = We-iIW(^Iui). z*l + l{phu(t + z*J.
(X.178)
Покажем теперь, что
РшЛ^К), z*J3 = ct^(0), Re(Тц(О) Ф0 (X. 179)
и что ux, u2, и3, ..., р2, со2, ..., р,, со3, ... можно вычислять
последовательно. В самом деле, равенства (Х.179) показывают, что
уравнения (Х.177) и (Х.178) можно разрешить относительно р2г и со2г, если
найдены функции и".
242
ГЛАВА X
Представим снова u(?, s, е) в виде разложения
u (t, s, e) = e[z(/, s) + z(/, s)]-fw(f, s, e), (X.180R
где
e = |[u, z*fl, |[w, z*J = ([w, z*]] = 0, (X.180),
a w = (e*/2) w2 + (e3/3!) w3 + ... . Можно считать e вещественным, потому
что если бы коэффициент при z в (Х.180) был комплексным, то мы могли бы
взять другое определение переменной z, представленной формулой (Х.168),
делая такой перенос начала отсчета координаты s, чтобы коэффициент при
новой переменной г в (Х.180) был вещественным. Разложение (Х.180) сводит
(Х.179) и (Х.172) к тождествам, а уравнение (Х.173) принимает вид
=2?oW2 + U(^|u1|u1) = 0. (X. 181)
Легко проверить, что если и, = г + z, то условие разрешимости (X. 176)
выполняется и мы можем найти wa. В самом деле, функцию wa(-, •)€Рг, 2л
можно разложить в ряд Фурье
w2 (t, s) = 2 w2ft (t) eik*,
k s Ъ
который вместе с (Х.181) и и1 = е'% + е~'% дает (/"-2tco0) w2i 2 + \ии
(tl ? | g) = О,
(/" + 2ico0) wa, _2 + fuu (t | ? [ J) = О, (X. 182)
J0W2U 4" 2fUU {( I ? I ?) = 0,
a w2ft(<) = 0 для всех kgZ, кфО, ±2.
Возвращаясь теперь к уравнению (Х.177) и используя (Х.179) и (Х.180),
находим, что
Зр2Оц. (0)-3tco2 -f pfBB (t j щ | wa) -f fa"" (t | Uj | Uj | Uj), z*J =
0.
(X.183)
Поэтому
раоц (0) гсо2 + [f" (*1 ? I w2, 0)+faB (f I ? | w2, 2)+iaaa (t | g | ? |
g), ?*]r = 0,
(X.184)
а так как Re (0)=?0, то комплексное уравнение (Х.184) можно разрешить
