Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
= e2Q(e2)l + x(l. e), |x| = 0(e^, (X.122)
224
ГЛАВА X
где функции ht(9) даются формулами (Х.114) и удовлетворяют условиям hi(Q-
\-{2n/n)) = hl{%) и /гг = 0.
Формулы предыдущего абзаца справедливы, если отношение со0/(2я/Т) частот
в критической точке является иррациональным числом. Результаты для
иррационального случая можно получить, считая, что п-* оо, или более
просто, положив все члены, содержащие п, равными нулю.
Поскольку приближенное решение с точностью до членов порядка &N (N
неограничено) представляет собой суперпозицию Г-периоди-ческих функций
(g(p, /), y'pq(t, р.), Гpq(t, р.)) и полиномов от гармоник е'т(<), т(^) =
ш0/ +0(/), то это решение имеет вид
uх(t)),
где т(0 = о)о^ + 9(0- Функция "%(•,•) является Г-периодической по первому
своему аргументу и 2я-периодической по второму аргументу. В самом деле,
нетрудно показать, что т(/) &F(t, co0<-f e2Q(e2) t), F(t + T, t') = F(i,
/'), F (t, t'2я) = 2я + F (t, t'), где F-функция, являющаяся решением
следующего функционального уравнения относительно O)of-f0!
(c)о^ ¦Ь8П-1-^п-4 (ti (c)о^ 4* 9) 4* &п~3Нп-а (c)о^ Ч~0) 4" • • • =*
= (0)0 + 8"О(8а))<,
a Hn_l{t,wl>t + Q) = Hn_i(t + T, (o0t -f-0) = Л"_4 (0), где Л"_4 (0)-
полином относительно экспонент и
ехр (г?л0) = ехр {ik [п (a>0t -f 0)-ti(x>0t]} =
- exp ( - ^^ехр{гА[/г(соог + 0)]},
так как ю0 = 2яm/пТ. Поэтому
и %(t))?aV(t, [со0 + е2й(е2)] t),
где функция V, подобно 4L, является Г-периодической по своему первому
аргументу и 2я-периодической по второму аргументу. Итак, мы показали, что
каждое приближение (N любое) решения представляет собой дважды
периодическую функцию, являющуюся квази-периодической, если [оз0+
е2П(е2)] Г/(2я) есть иррациональное число.
§ Х.12. Устойчивость бифуркационного тора
Необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что в настоящем случае
бифуркационным объектом является не отдельная траектория, а
однопараметрическое семейство траекторий, лежащих на некотором торе в
фазовом пространстве. Здесь под устойчивостью (неустойчивостью)
понимается свойство притяжения (отталкивания)
БИФУРКАЦИЯ в АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 225
самого тора, а не устойчивость (или неустойчивость) отдельной траектории
на нем.
Разложение (Х.2) показывает, что траектории сжимаются в W-направлениях
фазового пространства, потому что экспоненты Флоке, соответствующие этим
направлениям, остаются в левой части комплексной плоскости. Это говорит о
том, что двумерная проекция Z? + Z? или, что эквивалентно, образ этой
проекции в 1R2 с координатами (р, 0), определяемыми соотношениями (Х.38),
управляет устойчивостью всего решения. Это предположение является
установленным фактом, который можно вывести как следствие основной
теоремы о многообразиях (см. О. Lanford III, Bifurcation of periodic
solutions into invariant tori: the work of Ruelle and Takens, Nonlinear
Problems in the Physical Sciences and Biology, Lecture Notes in
Mathematics, No. 322, (New York - Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag,
1973) pp. 159-192 или G. Iooss, Bifurcation of Maps and Applications,
цитировано выше.)
Поэтому наше дифференциальное уравнение можно свести к двум уравнениям
(Х.56). Эти два уравнения выполняются асимптотически до членов О (&N), N
неограничено, и им удовлетворяют потоки на бифуркационном торе
р (X) = sR (0 (t), г), где R можно построить до членов 0(eN), как в §§
Х.5-10."
R (Q, е) = 1 + &Ri (9) + • • • •
Чтобы исследовать устойчивость, возмутим тор, положив
•р = е/?(0(О, 8) + р\ (X. 123)
где 0(Х)?[О, 2я)- любое из решений уравнений (Х.56) на торе. Комбинируя
(Х.123) с уравнением (Х.56) для р, находим, что р' удовлетворяет
уравнению
Р' = е2 (р2|" + 3а10) р' + О (е3) р' + О (| р' |2). (X. 124)
Напомним, что р2|0 + За10 = - 2р2|0, а |0 > 0 в силу предположения о
строгой потере устойчивости решения и == 0. Отсюда следует, что |р'(Х)|-
*0 при X -> оо, если р2 > 0, а |р'(0)| достаточно мало, т. е. получаем
устойчивость, если бифуркация тора является суперкрити-ческой. Если же р2
< 0, то тор неустойчив. Малые возмущения тора притягиваются к
суперкритическому тору и отталкиваются суб-критическим тором.
§ Х.13. Субгармонические решения на торе
Чтобы понять, как ведут себя траектории на торе и вблизи него, необходимо
рассмотреть свойства субгармонических решений на торе, порождаемые
захватом частоты. Краткое обсуждение этого вопроса
226
ГЛАВА X
дано в § Х.15. Здесь достаточно выявить свойства субгармонических решений
на торе, который ответвляется в критической точке, если экспонентой Флоке
является рациональная точка.
Пусть (о0 = 2пт/пТ, п^З. Если х-стационарное решение уравнения (Х.35), то
у (t) = eit0"'x есть пТ-периодическая функция, a Z (t) => = Z(t), Z(t))
и u(t) = Z(t)$(t) + Z(t)l(t)-r(t, ц,
Z{t), Z(t)) представляют собой суперпозиции Т-периодических и лТ-
периодических функций. Поэтому из стационарных решений уравнения (Х.35)
мы получаем некоторое приближение субгармонических решений с точностью
