Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Rm = 0, если I нечетное. Аналогично, [L<2"- к> (р, 0)]2г есть полином
относительно гармоник ешв со средним значением, равным нулю, если k-\-p
нечетное. Так как v и п-нечетные числа, то kn+р нечетное, если таковым
является k-\~p. Отсюда следует, что усредненные члены в (Х.103) равны
нулю и Pv^O, если v нечетное. Вообще говоря, имеем
2р< А
Р = V-ipb2pJrO{e,N+1) (X, 104)
ря 1
и, если 7?=1, 5, а п нечетное,
р (0, е) = е + еп~3 (g10elnB-f g10e~lne) + е""2 (g20e3lnB + gi0e~2inB) +
+ е"-1 (gSi)e3inB + gsoe~317,0 + gsle'nB + gsle~inB) + О (en) =
k-^N + 4-п k - 2q'>0
=••8+ 2] en-4+* 2j [gfc,exp(n(?-2q)iQ) +
4=1 ?=0
+ §kq exP (- n {k-2q) 10)] + О (e^1). (X. 105)
БИФУРКАЦИЯ В АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 221
Если n = 2v четное, то имеем р (0, е) = е + e2v-3 (g0oe2vi0 + goee~2vi0)
+
+ e2v_1 (gue(tm)m + iue-2vi0 + g"e4V'e + gi"e-4v'0) +
• +e2v+i (g22e(tm)'e + g!1e-*vid + gile*vm + gile-*vie +
+ g20eevlti + g20e-evie) + 0 (e2v+3) =
2 (A + v) < A + 3 A
= e + 2 e2v-з+2* 2 (gA<(exp(2v(?-f 1- 9)i0)-f
A=0 (7 = 0
+ Ia" exp (- 2v (k + 1 -9) 10)) + о (e"+l). (X. 106)
Проверку формул (X.105) и (X.106) предоставляем читателю в качестве
упражнения.
§ Х.10. Траектории на торе при п ^5
Изложенная здесь процедура нахождения траекторий на торе в точности
совпадает с той, которая была использована в § X. 8 при исследовании
случая п - Ъ.
Сначала мы должны найти р(0, е) из (Х.56) с учетом асимптотических
выражений (Х.105) и (Х.106) Для п нечетного находим
iff=Q" + ^2e2 + 'He4+' ••• +^2ve2v+ ... +еп-4ф;_4(0) +
+ еп-3(Фл-3 + г(Сз(0)) +••• +0(e"-2), (Х.107)
где предполагается, что П0 = р2со0 + Р10 отлично от нуля,
def - =r def
Фг = Фг + Ф/ (9). Ф* = 0,
^27+1 = °. тр; (0) = 0 для 1<п - 4,
й-.+/(0)= if +
<7 = 0
а все 0г? постоянные. (Например, фл_4(0) = 01Ое1'10 + 01Ое~гл9, где
01О = 2Рю?ю +Рою-)
Для п = 2v четного имеем ^2"27 = ^о + Ф2е2 + Ф4е4+ ••• +
-fe2v-4(^2v_4 + ^v_4(0))+ ... + 0(е"-"), (Х.108)
где, как и прежде, фг = фг + ф* (0)>
^27+i(0) = O Для всех I > 0, г Ф2г(0) = О для 21 <
2v - 4,
4>iv-"+*/(0) - 2 [0/?exp(2v(/+1-9)Ш)+ 0?(exp(-2v(Z+1-9)10)].
17 = 0
222
ГЛАВА X
Чтобы решить уравнения (Х.107) и (Х.108), поступим как в § Х.8 и сделаем
замену
0-0 + в"-'А<1_4(0) + е"-*Ая_,(0)+ ... +в"-1Алг_1(0), (X. 109) где
подлежащие определению функции ht (0) удовлетворяют условиям
А|(в)-А|(0+?), Ме)=о. (Х.по)
Отсюда следует, что
^={1+8-л;_4(0) +^-3^3(0)+ ... +о((Х.1П)
где dQ/dt дается формулой (Х.107) для п нечетного и формулой (Х.108) для
п = 2v четного. Обозначим через С(е2) совокупность всех усредненных
членов в (Х.107) и (Х.108). Тогда для каждого из двух случаев будем иметь
уравнение
~ = С(е2) + е"-*Ф*(0, е) + 0(е"), (Х.112)
где Ф*(0, е) ="0, а С(0) = ?2". Комбинируя (Х.111) и (Х.112), можно
получить упорядоченную последовательность уравнений для определения
функций Лг(0), удовлетворяющих условиям (Х.ПО), отождествляя коэффициенты
при независимых степенях е в соотношении
С(еа){Л;_4(0) + еА;_8(0)+ ... } + Ф*(0, е) +
+ в"-*Ф*(0, б){Лп_4(0) + еЛ;_з(0)+ ... }-
= в"-"Ф* (0, е) {Л;_4 (0) + ehns ф) + • • • } =
=8п-4{^-Л0)л;_4(0)+ ...}. (х.113)
Для функций йг(0) получаем выражения
А,(0)="О для /<п-5, (X.114)j
А"-.+,(0) = Р г2 fv,le^e(p-.D + ^je-tae(p-.o], p>Xt
если п нечетное, и
А,(0) = О для /<2v-5, А1|+1(0) = О, (Х.114),
р _
A2v-4+гр = [ VехР f'2v iP + 1 - 0 0 + V exp (- i2v (р + 1-l) 0)],
Р> 0.
если п =* 2v четное.
Используя (Х.113), можно привести (Х.111) к виду
^!-С(е2) + е2"-2фТ^4+ ••• +0(е^-2) =
= H(e2)-i-0(e^-2) (Х.115)
БИФУРКАЦИЯ в АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 223
и, как следствие (Х.116), уравнение (Х.109) можно представить в виде
e2Q (es) 1 = 0 -f- en-Vin_4 (0) -f- en-3/in_s (0) + ... +х(/, "),
где |х(/, е)| = О (е^), а функции /гг(0), даваемые формулами (Х.114),
таковы, что
Ме)=л,(е+?), 1г(0)=о.
§ Х.11. Асимптотически квазипериодические решения
Соберем теперь результаты, полученные в этой главе. Решение было
разложено в виде биортогональной суммы
U(0=Z(0E(|i, 0+2 (ОБО*, 0+W(0, (Х.116)
где ?(И-, 0-собственная функция оператора -d/dl-f fB(/, р|-),
соответствующая собственному значению ст (р) с наибольшей вещественной
частью,
Z (0 - <U (0, g* (0> = Р (0 exp {I [<во/ + 0(О]} +
+ 2 Ти(0 P)[p(0?+eexp{i(p -<?)[со"Х + 0(0]} + 0(6^+"), (Х.117)
Р + <7 = 2
а
W(0= 2 Г"(0 p)[p(0?+"exp{t(p-9Ж^ + 0(О]}+О(ел'+1).
Р + Р = 2
(X.118)
где <W (0, ?*>•="0, число усечения N неограничено, а р(Х), 0(1) и р
зависят от параметра
- 2Я
8==P = ^Jp (0)d0> (Xll9>
о
который представляет собой средний радиус профиля поперечного сечения
тора. Во всех случаях И-2г+1 = 0,
Р = Р2е2 + р4е* + рйев + ... + 0(бл'+1), (X. 120)
Р(0 = е + еЛ-3Рл-з (9) + е"-2Рп-2 (0) + ••• + О (eN+1), (Х.121)
где п-целое число, для которого ЭД=1, функции рг(0) определяются
выражением (X.J05) для п нечетного и выражением (Х.106)
для п - 2v четного, а р* = 0, если 1. Для 0(1) имеем соотношение
0 (0 + &n-4^n-4 (0 (0) + 6n_3d"_s (0 (0) 4- ... =
