Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
до, членов 0(|x|w + 1).
Рассмотрим случаи п = 3 и п = 4 сильного резонанса:
п = 3: х = рох + х\ x|2ai + x2a0, -i + 0(|x|4),
п = 4: x = yox + x\x\2a1+x3a0t _i + 0(|x|5).
Стационарные решения х находим в форме (IX.68) и (IX.80). Следуя методу,
использованному в гл. IX, определим некоторую амплитуду б (прежде был
введен параметр е, который был определен как средний радиус профиля
поперечного сечения тора, описываемый уравнением р==р(0)) и положим х =
6ei(p(6) и ц = р(1)б -(- р(2)62 -(- р13)б3 + ¦ • • - Если п = 3, то из
баланса главных членов получаем уравнение
|iU)a0ef(i>"H-e~a'(i>"a0i _! = 0, (Х.125)
которое соответствует уравнению (IX.68). В критической точке по обе
стороны от нее при малых б ответвляется одно ЗТ-периодическое решение и
уравнения (Х.1) (см. § IX. 14).
Если же п - 4, то получаем р(1) = 0 и приходим к уравнению
(p(2)cr0 + ai) ef(P"-|-e_3l'(Poa0) _! = 0, (Х.126)
которое соответствует уравнению (IX.80). Находим, что ответвляются два
4Г-периодических решения и уравнения (X. 1), если выполняется одно вполне
определенное неравенство, вытекающее из (Х.26) (см. (IX.83)).
Если 5, то приходим к случаю слабого резонанса и находим, что
субгармонические решения возможны, если только выполняются исключительные
условия. В первом приближении по б находим, что р(1) = 0, а во втором
приближении получаем уравнение
р(2|ст0 + а! = 0. (Х.127)
Уравнение (Х.127) не может иметь вещественного решения р(2), если aJoQ не
является вещественным числом. Отсюда получаем первое исключительное
условие; оно совпадает с условием (IX. 101) и имеет
место для всех п~^ 5. Для п = 5 имеем
х - рох + x|x|2ai + x*a0i _i + 0(|x|6). (Х.128)
БИФУРКАЦИЯ В АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 227
В третьем приближении получаем
Р<3)% + е_б'Фоа0, =0. (Х.129)
Если же п = 6, то имеем
x = pox-fx|x|aa1+x|x|4a2 + x6a0i +0(|х|7), (Х.130)
ри) = р(3) = р(гл+1) = 0, p.(2)a0-f flj = 0 и
ри)а0 + а2 + е-в'ччг0, _, = 0. (Х.131)
Если п > 6, то получаем р(1) = р(3) = 0 и, помимо (Х.127), имеем второе
исключительное условие, вытекающее из уравнения
pU)ao + a2 = 0. (Х.132)
Предположим теперь, что выполняются оба исключительных условия; тогда
получаем
рЛ%0 + е~71"Чг", _, = 0, если п = 7. Если же п = 8, то р(6> = 0 и
p(e)o0 + a2 + e8((P"a0> _! = 0.
При выводе уравнений для 6 предполагалось для простоты, что о, alf a0i _j
не зависят от р. Анализ показывает, что для реализации субгармонической
бифуркации требуется выполнение исключительных условий; одно новое
условие добавляется для каждого нечетного значения п, начиная с л = 5.
Для нечетного п^Ъ вычисление бифуркации подобно тому, которое было дано
для п - 3, и имеет следующие отличия. Так как р(1) = 0, р(2) ф 0 и р(л~2)
Ф 0, если п ^ 5 нечетное, то бифуркация является односторонней, однако
функция р(6) не является четной и поэтому существуют два решения с одним
и тем же значением р, но с разными амплитудами б. (Здесь, может быть,
необходимо предостеречь читателя от смешивания амплитуды б с амплитудой
е, ранее использовавшейся.)
Если л>6 четное, то вычисление бифуркации подобно тому, которое дано для
п = 4, и ответвляется два "Т-периодических решения, если выполняется
вполне определенное дополнительное неравенство, гарантирующее
устойчивость.
Покажем теперь, что субгармонические решения, которые ответвляются при п
^ 5, лежат на торе. Сначала отметим, что всегда можно определить
поперечное сечение р (0) тора, если не выполняются некоторые условия,
которые являются даже более исключительными, чем условия, требуемые для
субгармонической бифуркации с п7^5. В самом деле, условие р(2)^ь0
достаточно для существования функции р(0). Для субгармонической
бифуркации мы должны, иметь р = 0 = О. При выполнении этих условий
уравнение р = р' (0)0 удовлетворяется
228
ГЛАВА X
тождественно, и субгармонические решения лежат на торе
N
р (0. е)= 2 Рр(0)ея + О(8^1),
р=1
где функции рр удовлетворяют уравнению (X. 105) или (X. 106). Точки
пересечения периодического решения с замкнутой кривой р (0, е)
определяются корнями, для которых 0 = 0, т. е. для корней значения 0
таковы, что правая часть уравнения (X. 107) или (X. 108) обращается в
нуль. Так как левая часть уравнения не содержит свободных параметров, то
уравнение 0 = 0 определяет 2п точек пересечения 0(e) на замкнутой кривой
р (0, е).
Полезно показать, как выполняется это вычисление в самом низком
существенном порядке при п - Ъ. Сначала отметим, что
р(0) = е + е2р2(0), Ра = 0. Р21о + аю = 0. (X. 133)
где р2 (0) дается формулами (Х.67)2 и (Х.68). Теперь условие 0 = 0
приводит к соотношению
= 4" Рю = 0- (Х.134)
Т огда
= K^Icos(50 + argaolo). (X. 135)
Н-гбо
Первое приближение 0 (0) = 0О для функции 0 (е) получается из условия 0 =
0, требование выполнения которого до членов 0(е3) приводит к соотношению
0, (0О) = 2р10р2 (0О) + Poioe5l6° + Ро1ое_5'6" = 0. (X. 136)
Покажем теперь, что (Х.136) определяет первое приближение для десяти
точек пересечения 0(e) на замкнутой кривой р (0, е). Сначала отметим, что
