Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
относительно р2 и соа.
Если ра и соа заданы, то уравнение (Х.174) можно решить относительно ws и
найти, что
w" (t, s) =5 ws, з (0 e3is -j- w3,! (/) e's + w3t x (*) e~is + w3,
Se~3is,
(X. 185)
БИФУРКАЦИЯ В АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 243
где
[ws. I, S*]7- = 0.
Оставляем читателю в качестве упражнения определение функций w3i к и
членов более высокого порядка.
Дополнение Х.З. Прямое построение асимптотически
квазипериодических решений, ответвляющихся в рациональных точках более
высокого порядка, методом двух временных переменных
Теперь мы будем решать уравнение (X. 1), когда отношение частот в
критической точке со0Г/(2я) = т/п представляет собой рациональное число и
5. В § Х.11 было показано, что решения на бифуркационном торе имеют вид
u (t) = 2 Я (в, К+е20 (е2)] t)r+i exp (i (р-q) ([со0+е2(c) (е2)] t+
Р+Н(г, t, [в>о + е*0(е*)]О))ии(/, ц(е2)) (Х.186)
с точностью до членов более высокого порядка. Здесь R (е, t, s) и Н (г,
/, s) представляют собой функции, Г-периодические по t и 2я/п-
периодические по s, тогда как upq Т-периодична по t, a exp (i{p-q)s) 2я-
периодична по s. Это решение указывает, что можно искать решения вида u
(t, s), где и-дважды периодическая функция, Т-периодическая по / и 2л-
периодическая по s, при этом s = (co0 + e2(c) (е2)) t. В обозначениях
(Х.186) имеем
R(e, t, s) = e-f en~3Rn-a{t, s)+... ,
H(e, /, s) = Hn~iHn_i(t, s)+... ,
0 (e2) = Q0 + 0 (e2),
P (e2) = y e2 + 0 (e4), (X.187)
M*. p(e2)] = g(0 + O(e2),
U01 == U10-
Заметим, что каждую дважды периодическую функцию и из рг> гя можно
записать в виде
и(/, s) = u(*?, s') = u(f', s'+ (c)"*')• (Х.188)
Поэтому и принадлежит рпт, гл- Однако, напротив, функции из р"г, "л не
обязательно принадлежат Рг, 2я, даже после замены переменных. Это
маленькое замечание тем не менее полезно для построения в Рг, 2л
альтернативы Фредгольма.
244
ГЛАВА X
Следуя обозначениям дополнения Х.2, определим оператор
=?o=-co0J-+/0 (Х.189)
в пространстве Рг, щ- В настоящем случае ядро оператора J?0
бесконечномерно. Чтобы это показать, разложим и (С s) в ряд Фурье по s,
и(*. s)= 2 иk{t)eiks.
heZ
Тогда из уравнения J?0u = 0 следует, что
(Jt - ik со0) uft = 0,
и ик может быть отлична от нуля, только если ?=±l+ln, l?Z. Поэтому и
имеет вид
u(t, s) = 2"i+i"exp((l-f-Zrt) is-ilna>0t)?(t) +
i
+ 2"-1+г" exp ((- 1 +ln) is - ilnwB()l(i).
i
Поэтому общий вид ядра (или нуль-пространства) оператора Зв имеет вид
u(t, s) = ^a(s-со"0?(0 + е-^р(s-coo0l(0. (Х.190)
где а и Р суть произвольные 2я/п-периодические функции от s.
Чтобы подготовить альтернативу Фредгольма для в Рг, ая" введем новые
переменные
t'=*t, s'- s-сoBt
и запишем и(/, s) = и (/', s'), где теперь й принадлежит р"г, 2Л-Нам
нужно решить уравнение
^0u = h€Pr.an, (Х.191)
которое теперь можно представить в форме
"Bu = h ? Рлг, ал* (Х.192)
потому что
_5_______ д_ д
dt' 0)° ds dt '
Линейный оператор J совпадает с оператором, использованным в гл. IX, за
исключением того, что в (Х.192) s' рассматривается как параметр. Поэтому
условия совместности имеют вид
[h(., s'), Z*Lr = [h~(-, s'), Z*]nr = 0, (X. 193)
где напоминаем, что
Z (t) = ? (t), Ъ* (t) = e^ot g* (t)
БИФУРКАЦИЯ В АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 245
являются нуль-векторами операторов Л, Л* в рлГ. Нам известно, что (Х.192)
имеет решения и?рпг, 2Я, которые можно сделать единственными за счет
наложения дополнительных условий вида
[5(-, s'), Z*]"r = [и (•, s'), Z*]"r = 0. (Х.194)
Из условий (Х.193) следует, что коэффициенты ряда Фурье
h{t, s) = 2 K(t)eiks
ke %
удовлетворяют условиям ортогональности вида
[hft, ?*]г = 0 для kr=\+ln, Z,
[hA, g*]r = 0 для k = -\ +ln, l?Z.
Теперь мы должны проверить, что решение и уравнения (Х.192) таково, что и
(Г, s') = u(t, s -сo9i) является Т-периодической функцией t. В этом
случае уравнение (Х.191) будет разрешимо.
В самом деле, легко видеть, что u(/' + 7\ s'-со0Г) является решением
уравнения (Х.192) с той же самой функцией h, потому что
h (t, s) = h (t + T, s) = h (t' + T, s'-co0T) = h (/', s'),
а оператор Л имеет T-периодические коэффициенты. Кроме того, так как
u(i'+T, s'-со0Г) является единственным решением уравнения (Х.194), то
u(t' + T, s'-со0Г) = й(/', s')
и u(rf, s-a>0t) принадлежит Рг, 2Я.
Теперь ищем решение в форме
u(*. s, е) = eux(t, s) + |j-us(<, s)+-^u8(/, s)+...,
ц(е) = ае*+?±е*+...,
со (e) = co0 + co2 -f- co4 -f- ...,
P.* -
(X.195)
где uft?Pr, ал. p и со суть четные функции е, a co2/2 = Q" предполагается
отличным от нуля для того, чтобы устранить субгармоническую бифуркацию,
как в § Х.13. Для упрощения записи мы предположили, что в разложениях
р(е) и со (е) коэффициенты при нечетных степенях е равны нулю. Это
утверждение доказывается легко. Чтобы решить уравнение (Х.1), положим s =
co(e) t в u(?, s, е) и получим функцию
/i->и(/, со (e)t, е),
246
ГЛАВА X
представляющую собой решение уравнения (Х.1) вида (X. 186). Тогда
приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях е в уравнении
