Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
по степеням е:
Р"57" = + (^<А 4" (r)l) 8 + (^0^2 + (r) а + (r) Л) 8* 4*
4" (^о^з 4- (r)з 4" (r) 2^14" @1^2) в3 4" ¦ • • 4"
+ (Q"/i;+0, + 0г_ А + ... + (c)Л'.,) ег + ... -f О (е*-2). (Х.85)
Мы предполагаем, что ?20 ^ 0. Затем последовательно выбираем h" (0) таким
образом, чтобы каждый коэффициент был заменен его средним значением. Для
первого коэффициента полагаем
4- 0i = (c)1,
где
01 = 01о^9 + 01ое-ш ij = 0.
Поэтому
h - 010 rh'e I 010 />-5*9
1 5(Q0 ^ 51%
Для второго коэффициента находим, что
П0/124*(r)г4" (r)Л- 024"0i^i ^0. (Х.86)
Нетрудно найти функцию /та (0), удовлетворяющую (Х.86), (Х.82) и (Х.83).
Для третьего коэффициента имеем
^о^з 4" 08 4" 4" 01^2 - (r)s 4" 0"Лх 4* (c)l/la = 0
и т. д. Средние значения коэффициентов е нечетными номерами обращаются в
нуль, и
¦^2 - ^0 4- [(r)2 4" 01^l] 82 4" [04 4" 03^1 + 02^2 + 0,/Г] Е4
def
+ ... + О (е^-1) = Q (е2) + О (е^"2): (X.87)
Если А,(r) = 1, то траектории на торе определяются, вообще говоря,
асимптотическим выражением вида
e2Q (е2) / = 04- e/if (0) -(- e2/is (0) -{- ... +&^~1hN_1 (0) + х (/, е),
(Х.88)
где /гг(0) суть (2л/5)-периодические функции, средние значения которых
равны нулю, N-неограниченное число, а %'(/, е) = 0(ел).
§ Х.9. Форма тора при я>5
к рациона котором
p = etf(0, е), р = е2р,(е), (Х.89)
Перейдем теперь к рациональному случаю с п > 5 и рассмотрим уравнение
(Х.59), в котором
218
ГЛАВА X
где
-i?(0,e)i -\Rtm t -
йе) = ?|u~ Г* ^.-Р/+1.
J i=°L^ j (Х.90)
/?0=1, p" = -f-°.
60
Находим, что приближенное решение (Х.54) удовлетворяет уравнению
2р + 3 < N
pL(p)R + 2 e""L<*"+*>(p)"*"+3 +
q> 0
2q-1+kn< N
+ 2 2 e2q-i + knL<2q, *> ((J,t 0) fttq-1 + kn-.Q'
(X.91)
k > 0 p > 0
где
^ M = ! (|i)-(r) (I*) gg, ^2"+ 3 (I*) = a"+1 (l*) -
и
L<2*. *>([A, 0) = a"ft(p,)e''*''0 + a(,)i(p,)e-,'*n9 -
-2?=Ьв; №.. (rt""""+f>" (o)
Первый отличный от нуля член в последней сумме в (Х.91) есть член, для
которого <7 = 0, 6=1 и
g2p-4 + ftn _ gn-4
Поэтому можно отождествлять коэффициенты при последовательных степенях
г1, I < л-4 без рассмотрения последней суммы в (Х.91). Для вычисления
этих коэффициентов положим
к-(е,в)-2[""(е)],в'.
р = о
(I (е) L (еа(Х (е)) = 2 [\iL (р)]ре/\ (Х.92)
р = 0
s*ql<2q+S> (g2jl)= ^ 8*в+/?[?.'8" + ">(р,)] .
Р - 0
После отождествления находим, что
2 [|1мр)]"",+ 2 [/^+3>(p)][/?2?+8(0)]p=o (Х.93)
v=Z+p v=2p+p+l
для v = 0, 1, ..., п-5, <7^0, р^О, 0. Эта задача в действи-
тельности совпадает с задачей (Х.50) до членов порядка 0(еп_5).
Следовательно, "0=1,
Я,(0) = О, 0 < / < л-4, (Х.94)
?"""п 2,'г!5"^' (Х.95)
M2z-i = 0. 2/-l^n-3. 4 '
БИФУРКАЦИЯ В АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 219
Докажем теперь, что
Я(0) = Р"-. (6) = g10eine +lloe-M, (X .96)
где g10 - постоянная, зависящая от резонансного числа п. Для
доказательства равенств (Х.96) определим в (Х.91) коэффициент при ev для
v^n-4 и найдем, что
2 2 [l<2"+8>(p)L[^+3(0)L+
v=/+p v=2q+p + l
+ 2 [L<2"-*>(P, e)]i[i?*?+^-1]/7 = 0. (X.97)
2q+kn-4+l+p=v
Необходимо рассмотреть два случая.
(1) п четное и v = "-4. Тогда, используя (Х.94), можно записать (Х.97) в
виде
[pL (р)]"_4 R" + [рТ (р)]. Я"_4 + [L<3> (р)]0 [/?3]"_4 +
+ 2 [Т<2*+3>(р)]г[Я2"+3]0 + [Т<°- *>(р, 0)],[/?"-"],-О,
(Х.98)
n~A=2q+l
где
[|Д (р)]"_4 = М-п-4^0 +Ч.Н.П.,
^о = [^п_1]о= 1. [i* Т(р)]0 = Ро (^0-1"о д),
[L<8> (р)]8 [Я 3]"_4 = За1о/?"_4 -Рю^-4,
[!<•" "(р, 0)] [/?-*]" = L<"- *> (0, 0) - agio^"6 Н-aojoe_<n0,
Мч=
Следовательно,
M'n-sfo 4"ч.н.п. +(p2lo + 3a,o) /?"_4- (Рю + рА) ^"-4 +
+ 2 [L<2<?+8> (р)]4 + + ао1ое-"а = О, (Х.99)
n = 2q + l + 4
где оператор [L<29+3>(p)]f действует на постоянную единичную функцию.
Среднее значение от (Х.99) есть
Цп-41о + ч.н.п. + 2 [L<2"+8> (р)]г = 0. (Х.100)
n = 2q + l + 4
Это уравнение определяет р"_а через члены более низкого порядка. Тогда из
уравнения (Х.99) следует, что Rn_4 (0) имеет вид, указываемый формулой
(Х.96).
(2) п нечетное и \ = п-4. Здесь вторые два члена в (Х.100) обращаются в
нуль, потому что - 0 для 21-1 <л-2, и, следовательно, р"_а также равно
нулю.
220
ГЛАВА X
Теперь покажем, что если п четное (п^ 6), то
Л1и+1(0) = р1и(0) = О (Х.101)
для всех т таких, что 2/п < (V (напомним, что N неограничено и поэтому
все производные по е от р (0, е) равны нулю в каждом приближении). Это
следует из того обстоятельства, что при четном п уравнение (Х.91)
содержит только четные степени е. Аналогично доказывается, что
Pt"-i = 0. (X. 102)
если п четное.
Уравнение (Х.102) справедливо также и для п нечетного (п ^ 5).
Предположим, что рг = 0, если / <v и / нечетное. Тогда все производные
нечетного порядка по е от функций, зависящих от р, должны обращаться в
нуль, и среднее от (Х.97) можно записать в виде
Pv!o+ 2 [?<а*+8>(р)ЫЯ2в+%+1 +
v = 2g + 2l + 2p+ I
+ 2, [L<^*>(p, 0)]2г[/^+*"-1] =0. (X. 103)
2q + kn - 4 + 2/ + p = v
Теперь R[(9), / > 0, представляет собой четный (нечетный) полином
относительно гармоник еш, если / четное (нечетное), и Rt = 0. Тогда
[/?от(0)]г (т^ 1) также является полиномом относительно е'пд, и
